Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1782] mines MP 2024 Soit \(f\) définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue et décroissante.

3. Pour tout \(x\in D_f\), on pose \(g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)\).

   Montrer que : \(\forall x\in D_f\), \(g(x+1)=g(x)\).

4. Déterminer des équivalents simples de \(f\) aux extrémités de \(D_f\).

[examen/ex0995] hec S 2024

1. Question de cours : énoncer les théorèmes de comparaison pour les intégrales généralisées.

   Soit \(f\) la fonction donnée par : \[f(x)=\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt.\]

2. Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).

3. 1. Montrer que \(f\) est positive et préciser sa monotonie.

   2. En déduire que \(f\) admet une limite à droite et à gauche en 0.

   3. Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\) est convergente et que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+\quad0\leqslant{\pi\over2}-f(x)\leqslant-x\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

   4. En déduire la limite de \(f\) à droite en 0.

4. Former une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).

5. On pose pour \(x>0\) : \[\varphi(x)=xf(x)f(x-1).\] Montrer que : \[\forall x>0\quad\varphi(x+1)=\varphi(x).\] Calculer \(\varphi(n)\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).

6. Déterminer un équivalent à \(f\) en \(-1^+\).

[concours/ex3293] ens lyon M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, de la fonction définie par \(\displaystyle\sum\limits_0^\infty e^{-n^2x}\).

[oraux/ex2276] centrale 2004 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt\).

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

2. Montrer que \(f\) est \(\mathscr{C}^\infty\).

3. Relier \(f(x)\) et \(f(x+2)\).

4. Montrer que la suite \(\left(\vphantom{|_|}nf(n)f(n-1)\right)_{n\in\mathbf{N}^*}\) est constante.

5. Trouver un équivalent de la suite \(\left(\vphantom{|_|}f(n)\right)\).

6. Trouver un équivalent de \(f(x)\) quand le réel \(x\) tend vers \(+\infty\).

7. Trouver un équivalent de \(f(x)\) quand le réel \(x\) tend vers \(-1\).

[oraux/ex2334] mines MP 2006

1. Pour quels \(x\) de \(\mathbf{R}\) l’intégrale : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\) existe-t-elle ? Dans ce cas, soit \(f(x)\) sa valeur.

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son intervalle de définition.

3. Que dire de \(x\mapsto(x+1)f(x)f(x+1)\) ?

[planches/ex2878] hec S 2018

1. 1. Question de cours : égalité et inégalités des accroissements finis.

   2. Justifier, pour tout \(x\leqslant 0\), l’inégalité : \(|e^x-1|\leqslant|x|\).

2. Justifier la convergence absolue de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).

   On note \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,dt\).

3. 1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et justifier que \(f\) est monotone.

   2. Justifier, pour tout \(x\in D_f\), l’égalité : \[f(x)={x+2\over x+1}f(x+2).\]

4. 1. Établir, pour tout \((x,y)\in{\mathbf{R}_+^*}^2\), l’inégalité : \[\left|\vphantom{|_|}f(x)-f(y)\right|\leqslant|x-y|\int_0^{\pi/2}|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)|\,dt.\]

   2. Démontrer que \(f\) est continue.

   3. Trouver la limite et un équivalent simple de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1_+\).

5. 1. Justifier, pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’inégalité : \[f(n)\leqslant{1\over\sqrt[3]n}+{\pi\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^n\left({1\over\sqrt[3]n}\right).\]

   2. En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers l’infini.

[planches/ex8802] centrale PC 2022 Soit \(f\) la fonction donnée par \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier ses variations.

3. Trouver une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).

4. Pour \(x>0\), on pose \(\varphi(x)=xf(x)f(x-1)\). Montrer que, pour \(x>0\), \(\varphi(x+1)=\varphi(x)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(-1\).

[examen/ex0699] imt MP 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Montrer que \(F(n+2)=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}F(n)\). Calculer \((n+1)F(n)F(n+1)\).

3. Donner un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex1899] ens PC 1999 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\). Montrer que \(g(x)=xf(x)f(x-1)\) est \(1\)-périodique. Montrer que \(f(x)\sim\sqrt{\pi/2x}\) en \(+\infty\). Montrer que \(g\) est continue.

[concours/ex1509] centrale PC 1998

1. Étudier l’intégrabilité sur \(\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) de \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\).

   On pose, si possible, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt\) puis \(g(x)=xf(x)f(x-1)\).

2. Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(x+2)\).

3. Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique.

4. Étudier la monotonie de \(x\mapsto\displaystyle{g(x)\over x+1}\).

5. Calculer \(g(n)\) pour \(n\) entier.

6. Montrer que \(g\) admet \(\displaystyle{\pi\over2}\) comme limite en \(+\infty\).

7. Que dire de \(g\) ?