Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

[planches/ex6819] mines MP 2021 On pose, pour \(x\in\left]0,1\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(t+1)}\). Montrer que \(f\) est bien définie. Trouver des équivalents simples de \(f\) au voisinage de 0 et de 1.

[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.

4. Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).

[planches/ex8577] centrale MP 2022 (avec Python)

Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

2. Tracer le graphe de \(x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi x)f(x)\) sur \(D\). Conjecture ?

3. Conjecturer la nature et la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+23x+x^2)\over x\sqrt x}\,dx\).

4. Montrer, pour \(x\in\left]0,1\right[\), que \(f(1-x)=f(x)\).

5. Pour quelles valeurs de \(k\in\mathbf{N}^*\) l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over x^{1+1/k}}\,dx\) est-elle convergente ? Calculer cette intégrale.

6. Démontrer la conjecture de 2.

[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).

2. Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).

4. Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).

[planches/ex0753] mines MP 2014 Pour \(x\in\left]0,1\right[\), on pose \[F(x)=\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}.\]

1. Montrer que \(F\) est bien définie, que \(F\) est continue.

2. Montrer : \(\forall x\in\left]0,1\right[\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{t^x+t^{1-x}\over t(1+t)}\). En déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\left]0,1\right[}F\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0^+}F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1^-}F(x)\).

4. Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(1^-\).

[planches/ex2125] mines MP 2017

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).

3. Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[examen/ex3810] mines PC 2025 On pose \(J:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^x(t)}\).

1. Domaine de définition de \(J\) ?

2. Étudier la continuité de \(J\).

3. Calcul de \(J(1)\) et \(J(2)\).

4. Déterminer une relation entre \(J(x+2)\) et \(J(x)\).

5. Expliciter \(J(2p)\) et \(J(2p+1)\) pour \(p\in\mathbf{N}^*\).

6. A-t-on \(J(x)\mathrel{\mathop{\thicksim}\limits_{x\to+\infty}}J(x+1)\) ?

7. Donner un équivalent de \(J\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2728] PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Calculer \(f(1)\). Montrer : \(\forall x>-1\), \((x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)\). En déduire un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1^+\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

4. Justifier : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle{1\over2}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)\over2}\right)\,dt\). En déduire \(f'(0)\).

[oraux/ex2334] mines MP 2006

1. Pour quels \(x\) de \(\mathbf{R}\) l’intégrale : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\) existe-t-elle ? Dans ce cas, soit \(f(x)\) sa valeur.

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son intervalle de définition.

3. Que dire de \(x\mapsto(x+1)f(x)f(x+1)\) ?