Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7271] centrale PC 2021 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

4. Trouver la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[examen/ex2162] mines PC 2024 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Pour \(x>0\), on pose \(N_f(x)=\displaystyle\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t\right)^{1/x}\).

1. Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).

3. Déterminer la limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t-1\right)\) lorsque \(x\rightarrow 0^+\).

4. Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to 0\).

[examen/ex3421] mines MP 2025 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Soient \(N_f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\left(\displaystyle\int_0^1f(t)^x\,\mathrm{d}t\right)^{\!1/x}\).

1. Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Déterminer la limite de \(N_f\) en \(+\infty\).

3. Déterminer la limite de \(N_f\) en \(0^+\).

[oraux/ex2481] centrale PSI 2010 (avec Maple)

Soit \(F:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(xt)\over t^2}e^{-t}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire une expression de \(F(x)\).

3. Montrer que \(F(x)/x\rightarrow\pi/2\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[examen/ex4005] centrale PC 2025 Pour \(x\in\mathbf{R}^+\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{t^2}\,e^{-xt}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(f\) est définie, continue sur \(\left[0,+\infty\right[\), de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).

2. Convergence et calcul de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}{t}\,\mathrm{d}t\).

[planches/ex6819] mines MP 2021 On pose, pour \(x\in\left]0,1\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(t+1)}\). Montrer que \(f\) est bien définie. Trouver des équivalents simples de \(f\) au voisinage de 0 et de 1.

[planches/ex0852] mines PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Trouver le domaine de définition \(D\) de \(f\) et sa classe de dérivabilité.

2. Trouver des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).

[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).

   1. Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).

   2. Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).

   3. Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).

[planches/ex2125] mines MP 2017

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).

3. Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.