Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0845] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose, sous réserve d’existence, \[f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt.\]

1. Quel est le domaine de définition de \(f\) ?

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex1825] polytechnique PSI 2017 Soit \[g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R},\quad u\longmapsto\int_0^{+\infty}{1-e^{-ut}\over t(\sqrt t+1)}\,dt.\]

1. Vérifier l’existence de \(g\).

2. Étudier la dérivabilité de \(g\) et ses variations.

3. Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(g(u)\sim c\sqrt u\) au voisinage de \(0^+\).

[oraux/ex2272] mines 2004 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{th}}{\hbox{th}}{\mathrm{th}}{\mathrm{th}}}\nolimits(xt)\over t^x(1+t^4)}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[planches/ex3283] polytechnique MP 2018

1. Soient \(A\), \(B\), \(K\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) telle que, pour tout \(t\geqslant 0\), \(f(t)\leqslant Ke^{Bt}\). On suppose qu’il existe \((a_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(t\in[0,A]\), \(f(t)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kt^k\). Donner un développement asymptotique à tout ordre de \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(t)\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

2. Soit \(a\in\mathbf{R}\). Donner un développement asymptotique à tout ordre, lorsque \(x\rightarrow+\infty\), de \(g:x\mapsto x^ae^x\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t}t^{a-1}\,dt\).

[concours/ex5212] escp B/L 2007 Pour \(t\in\mathbf{R}^*_+\) et \(x\in\mathbf{R}^*\), on pose : \(g(t,x)=\displaystyle{x\over \sqrt{t}(1+tx^2)}\), et \(u_n(x)=g(n,x)\).

1. Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n(x)\).

   Pour les \(x\) réels pour lesquels cette série converge, on pose : \[S(x)=\sum\limits\limits_{n=1}^{+\infty}u_n(x).\]

2. On pose maintenant, pour \(x>0\), \[I_1(x)=\int_{1}^{+\infty}g(t,x)\,dt\quad\hbox{et}\quad I_2(x)=\int_{0}^{+\infty}g(t,x)\,dt.\] Montrer que ces deux intégrales sont convergentes puis calculer leur valeur.

3. Montrer que \(I_1(x)\leqslant S(x)\leqslant I_2(x)\) et en déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{x\rightarrow 0}S(x)\).

[planches/ex2818] PC 2017 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \[f_n:x\longmapsto\int_0^{+\infty}{e^{-xt}\over(1+t)^n}\,dt\quad\hbox{et}\quad g_n:x\longmapsto\int_x^{+\infty}{e^{-t}\over t^n}\,dt.\]

1. Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) sont définies sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que, pour \(x>0\), \(f_n(x)=x^{n-1}e^xg_n(x)\).

3. Montrer que, pour \(n\geqslant 2\), \(f_n\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et y est de classe \(\mathscr{C}^\infty\).

4. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Donner un équivalent de \(g_n(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).

5. Montrer que \(g_n(x)\sim e^{-x}/x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

6. Donner une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par \(f_n\).

[planches/ex7631] ens lyon MP 2022

1. Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\varepsilon\longmapsto\displaystyle\int_{-x}^{-\varepsilon}{e^{-x-t}\over t}\,dt+\int_\varepsilon^{+\infty}{e^{-x-t}\over t}\,dt\) possède une limite finie en \(0^+\), que l’on notera \(I(x)\).

2. Déterminer un équivalent de \(I\) en \(0^+\).

[concours/ex3642] mines M 1992 Soit \(I(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \left(a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\right)^{-\textstyle{1\over3}}\,dt\). Équivalent quand \(a\) tend vers \(0^+\).

[planches/ex3285] polytechnique MP 2018

1. Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{-xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

2. Soient \(a\in\left]0,1\right[\) et \(b\in\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(J(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex2347] centrale MP 2006 On note \(I\) l’ensemble des réels \(x\) tels que l’application \(t\mapsto t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\) est intégrable sur \(\left]0,\pi/2\right]\). On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\) pour tout \(x\in I\).

1. Déterminer \(I\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^\infty\).

3. Étudier les variations de \(f\) : monotonie, limites aux bornes.

4. Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’un logiciel de calcul formel.