Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0903] imt MP 2016 Pour \(x>0\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie et continue.

2. On pose \(G(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt-{1\over x}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\). Montrer que \(G(x)=O(1/x^2)\) quand \(x\rightarrow+\infty\). En déduire un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

3. Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\).

[concours/ex3292] ens cachan M 1993 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\left({x\over t}\right)^{\!\!\beta}\,dt\) où \((\alpha,\beta)\in\mathbf{C}^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits\alpha>0\). Chercher un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex0689] polytechnique MP 2013 Pour \(\lambda>0\), on définit, sous réserve d’existence, \[I(\lambda)=\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)^\lambda}.\] Déterminer la limite puis un équivalent de \(I(\lambda)\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).

1. Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?

2. \(f\) est-elle continue ?

3. Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).

[planches/ex9956] mines MP 2023 Soient \(C>0\), \(d>0\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\).

Montrer que \(\displaystyle\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^\alpha\,\mathrm{d}x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow +\infty}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^\alpha}{\sqrt{t}}\).

[examen/ex3606] mines PSI 2025 Soit \(s>0\). Soit \(w:(a,x,y,t)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\times\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\frac{ay^{2s}}{((x-t)^2+y^2)^{s+\frac{1}{2}}}\).

1. Pour tout \((a,x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), établir la convergence de \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(a,x,y,t)\,\mathrm{d}t\).

2. Montrer qu’il existe une unique constante \(c\in\mathbf{R}\) telle que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t=1\).

3. Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(\varepsilon>0\). On pose \(U_\varepsilon=\{t\in\mathbf{R},\ |t-x|>\varepsilon\}\).

   Montrer que \(\displaystyle\int_{U_\varepsilon}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}0\).

4. Soit \(f\) une fonction continue et bornée sur \(\mathbf{R}\).

   Pour tout \(x\in\mathbf{R}\), prouver \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)f(t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}f(x)\).

[concours/ex1898] ens MP 1999 Équivalent en \(+\infty\) de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\displaystyle{te\over x}\right)^{\!x}\,dx\) ?

[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).

[oraux/ex2346] centrale MP 2006 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1{t^n-t^{n+1}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\) et \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-(n+1)s}-e^{-(n+2)s}\over s}\,ds\) ; on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{t-1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}e^{-xt}\,dt\).

1. Justifier la définition de \(I_n\).

2. Calculer \(I_n\) pour \(n=0\), 1, 2, à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

3. Comparer \(I_n\) et \(J_n\).

4. Étudier la limite quand \(\varepsilon\) tend vers 0 de \(\displaystyle\int_{(n+1)\varepsilon}^{(n+2)\varepsilon}{e^{-s}\over s}\,ds\). En déduire \(I_n\) et \(J_n\).

5. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

6. Montrer que \(f\) est \(C^\infty\).

7. Étudier les variations de \(f\) et ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

8. Montrer que \(f\) est développable en série entière ; préciser son rayon de convergence.

[oraux/ex5381] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\,dt\). Définition ? Limite en \(+\infty\) ? Dérivabilité ? Équivalent en \(+\infty\) ? Que vaut \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\,dx\) ?