Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.

[planches/ex8460] mines PC 2022

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).

2. Montrer que \(f\) est continue.

3. Calculer \(f(0)\).

[oraux/ex2697] mines PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.

4. Représenter le graphe de \(f\).

[planches/ex8451] mines PC 2022 On pose lorsque cela a un sens \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\). Continuité. Limites aux bornes du domaine de définition.

2. On note \(\lambda\) la limite de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer un équivalent de \(\lambda-f(x)\) lorsque \(x\longrightarrow+\infty\).

[concours/ex1838] mines MP 1999 Étudier la fonction \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\). Préciser le comportement de \(f\) aux bornes de son domaine de définition.

[concours/ex1510] centrale PC 1998 On pose \(I(a)=\displaystyle\int_0^1{dt\over t^3+a^3}\).

1. Étudier la limite de \(I(a)\) lorsque \(a\) tend vers \(+\infty\).

2. Trouver un équivalent de \(I(a)\).

[concours/ex2610] tpe, int, ivp M 1995 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{tx}\,dt\). Définition, continuité, limite en \(+\infty\).

[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).

1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).

2. Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.

[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.

4. Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).