Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0294] mines PC 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{t^x(1+t)}\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\).

2. Déterminer le domaine de dérivabilité de \(F\).

3. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).

[oraux/ex5375] mines MP 2012

1. Déterminer le domaine de définition réel de \(f:x\mapsto \displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\,dt}{t^x (1+t)}\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\) et en \(1^-\).

[examen/ex3796] mines PC 2025 Soit \(\displaystyle f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.

3. Montrer que la droite d’équation \(x=\displaystyle\frac 12\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\).

4. Montrer que \(f\) est minorée par une valeur que l’on explicitera.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en 0.

[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

[planches/ex2125] mines MP 2017

1. Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).

3. Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.