Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9499] polytechnique MP 2023 Soient \(\alpha\), \(\beta>0\). Pour \(x>0\), on pose \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\beta-1}e^{-t-xt^\alpha}\mathrm{d}t\).

1. Déterminer la limite et un équivalent de \(I\) en \(+\infty\).

2. Donner un développement asymptotique de \(I\) à tout ordre.

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d’une série convergente pour tout \(x>0\).

[concours/ex3644] mines M 1992 Trouver un équivalent de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,t^x\,dt\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex0089] polytechnique MP 1996 Montrer que, pour tout \(\theta>0\), il existe \(C_\theta>0\) tel que \[\int_0^{\textstyle{\theta\over\sqrt\alpha}}(1-x^2)^a\,dx \mathrel{\mathop\sim\limits_{a\rightarrow+\infty}} {C_\theta\over\sqrt a}\,.\]

[planches/ex9040] ccinp PC 2022 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^xe^{2t}\,dt\).

1. Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\displaystyle\int_0^1t^x\,dt\) converge. En déduire le domaine de définition de \(f\).

2. 1. Pour \(x\in\left]-1,+\infty\right[\), montrer que \(0\leqslant f(x)\leqslant\displaystyle{e^2\over1+x}\). En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

   2. Trouver une inégalité montrant que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{-1^+}f=+\infty\).

3. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et calculer \(f'(x)\).

   2. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(f(x+1)\).

4. Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{\alpha\over x}+{\beta\over x^2}+o\left({1\over x^2}\right)\).

5. Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{-1^+}}\displaystyle{1\over1+x}\).

[oraux/ex5754] centrale PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t\, e^{-t}}{t+x}\,dt.\)

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\), dérivable sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en 0.

3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,dt\).

4. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(0\leqslant 1-x\, f(x)\leqslant 2/x\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).