Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex3292] ens cachan M 1993 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\left({x\over t}\right)^{\!\!\beta}\,dt\) où \((\alpha,\beta)\in\mathbf{C}^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits\alpha>0\). Chercher un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

[planches/ex3283] polytechnique MP 2018

1. Soient \(A\), \(B\), \(K\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) telle que, pour tout \(t\geqslant 0\), \(f(t)\leqslant Ke^{Bt}\). On suppose qu’il existe \((a_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(t\in[0,A]\), \(f(t)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kt^k\). Donner un développement asymptotique à tout ordre de \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(t)\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

2. Soit \(a\in\mathbf{R}\). Donner un développement asymptotique à tout ordre, lorsque \(x\rightarrow+\infty\), de \(g:x\mapsto x^ae^x\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t}t^{a-1}\,dt\).

[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).

[planches/ex2818] PC 2017 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \[f_n:x\longmapsto\int_0^{+\infty}{e^{-xt}\over(1+t)^n}\,dt\quad\hbox{et}\quad g_n:x\longmapsto\int_x^{+\infty}{e^{-t}\over t^n}\,dt.\]

1. Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) sont définies sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que, pour \(x>0\), \(f_n(x)=x^{n-1}e^xg_n(x)\).

3. Montrer que, pour \(n\geqslant 2\), \(f_n\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et y est de classe \(\mathscr{C}^\infty\).

4. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Donner un équivalent de \(g_n(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).

5. Montrer que \(g_n(x)\sim e^{-x}/x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

6. Donner une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par \(f_n\).

[oraux/ex2298] mines MP 2005 Soit, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^xe^{-tx}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).