Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[oraux/ex2346] centrale MP 2006 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1{t^n-t^{n+1}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\) et \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-(n+1)s}-e^{-(n+2)s}\over s}\,ds\) ; on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{t-1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}e^{-xt}\,dt\).

1. Justifier la définition de \(I_n\).

2. Calculer \(I_n\) pour \(n=0\), 1, 2, à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

3. Comparer \(I_n\) et \(J_n\).

4. Étudier la limite quand \(\varepsilon\) tend vers 0 de \(\displaystyle\int_{(n+1)\varepsilon}^{(n+2)\varepsilon}{e^{-s}\over s}\,ds\). En déduire \(I_n\) et \(J_n\).

5. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

6. Montrer que \(f\) est \(C^\infty\).

7. Étudier les variations de \(f\) et ses limites aux bornes de son intervalle de définition.

8. Montrer que \(f\) est développable en série entière ; préciser son rayon de convergence.

[planches/ex3948] centrale PSI 2018 Soit \(f:\left]0,1\right]\rightarrow\mathbf{R}\) continue, telle que \(f(t)\sim\lambda t^\alpha\) au voisinage de 0 avec \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). On pose \(g:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^xf(t)\over\sqrt{1-t}}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(g\).

2. Montrer que \(g\) est continue.

3. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

4. Sans utiliser le théorème de convergence dominée, déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).

[examen/ex4243] imt PSI 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire la limite de \(x\mapsto\displaystyle\frac{F(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.

[oraux/ex5754] centrale PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t\, e^{-t}}{t+x}\,dt.\)

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\), dérivable sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en 0.

3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,dt\).

4. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(0\leqslant 1-x\, f(x)\leqslant 2/x\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).