Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0707] mines PC 2013 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Déterminer un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et \(+\infty\).

[planches/ex8807] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?

3. Étudier les variations de \(f\) sur \(D\).

4. Déterminer un équivalent de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

[planches/ex0787] mines MP 2015 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(F\) dans \(\mathbf{R}\), puis montrer que \(F\) est continue sur ce domaine. Étudier la monotonie de \(F\).

2. Trouver la limite de \(F\) en \(+\infty\) et donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

3. Trouver la limite de \(F\) en 0 et donner un équivalent de \(F\) en 0.

4. Étudier la convexité de \(F\).

[oraux/ex2373] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x^2}\,dt\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue ? Est-elle intégrable en 0 et en \(+\infty\) ?

[oraux/ex2307] mines PC 2005

1. Domaine de définition de \(f\) telle que, pour tout \(x\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\,dt\over x^2+t}\) ?

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Montrer qu’en \(+\infty\) : \(f(x)\sim1/x^2\).