Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1907] polytechnique, espci PC 2017 Soit : \[I:\alpha\in\mathbf{R}_+\longmapsto\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)(1+x^\alpha)}.\]

1. Justifier la définition de \(I\). Calculer \(I(0)\).

2. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\rightarrow+\infty\).

3. Calculer \(I(\alpha)\) pour \(\alpha\in\mathbf{R}_+\).

[oraux/ex2272] mines 2004 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{th}}{\hbox{th}}{\mathrm{th}}{\mathrm{th}}}\nolimits(xt)\over t^x(1+t^4)}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.

[oraux/ex5522] mines PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\).

2. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes.

[planches/ex9040] ccinp PC 2022 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^xe^{2t}\,dt\).

1. Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\displaystyle\int_0^1t^x\,dt\) converge. En déduire le domaine de définition de \(f\).

2. 1. Pour \(x\in\left]-1,+\infty\right[\), montrer que \(0\leqslant f(x)\leqslant\displaystyle{e^2\over1+x}\). En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

   2. Trouver une inégalité montrant que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{-1^+}f=+\infty\).

3. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et calculer \(f'(x)\).

   2. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(f(x+1)\).

4. Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{\alpha\over x}+{\beta\over x^2}+o\left({1\over x^2}\right)\).

5. Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{-1^+}}\displaystyle{1\over1+x}\).

[examen/ex3011] polytechnique MP 2025 Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}(te^{-t})^x\,\mathrm{d}t\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).