Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7052] mines PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{dt\over(1-t^x)^{1/x}}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Quelle est la limite de \(f\) en \(+\infty\) ?

[planches/ex5647] imt PSI 2019 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-xt^2}\over1+t}\,dt\).

1. Montrer que pour tout \(x>0\), l’intégrale \(F(x)\) est convergente.

2. Étudier les variations de la fonction \(F\).

3. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).

4. Montrer que, pour tout \(x>0\), \(F(x)\geqslant\displaystyle{1\over e}\int_0^{1/\sqrt x}{dt\over1+t}\). En déduire la limite de \(F\) en 0.

[planches/ex1907] polytechnique, espci PC 2017 Soit : \[I:\alpha\in\mathbf{R}_+\longmapsto\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)(1+x^\alpha)}.\]

1. Justifier la définition de \(I\). Calculer \(I(0)\).

2. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\rightarrow+\infty\).

3. Calculer \(I(\alpha)\) pour \(\alpha\in\mathbf{R}_+\).

[planches/ex0831] polytechnique MP 2016 Soit \[I:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over t+x}\,dt.\] Déterminer un équivalent de \(I(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[planches/ex8096] mines MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{xu\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u)}\,du\).

1. Domaine de définition de \(f\) ?

2. Soit \(g\) une fonction continue par morceaux et bornée sur \(\mathbf{R}\), continue en 0. Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}xg(u)e^{-xu}\,du\) tend vers \(g(0)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\). Que peut-on dire si \(g\) est supposée intégrable au lieu de bornée ?

3. Déterminer la limite de \(xf(x)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\).