Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0793] mines PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^x{e^t\over t+x}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Étudier la limite de \(f\) en \(0^+\).

[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la continuité de \(f\).

3. Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.

4. Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2420] mines PC 2009 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^1{x^a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}\,dx\).

1. Justifier l’existence de \(F\).

2. Donner un équivalent de \(F(a)\) quand \(a\rightarrow+\infty\).

[concours/ex3211] mines M 1993 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\displaystyle\int^\varepsilon_{\varepsilon^2} {du\over\sqrt{(u+1)u(\varepsilon+\varepsilon^2-u)}}\).

[planches/ex7407] ccinp PC 2021

1. Montrer que \(\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{t-1}}\) existe.

2. On définit \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^n\sqrt{t-1}}\).

   1. Pour quels entiers \(n\) cette intégrale est-elle définie ?

   2. Montrer que la suite \((I_n)\) est positive et décroissante.

3. Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité de \(f\).

4. Pour \(u\in\left]-1,1\right[\), montrer que \((1-u)^{-1/2}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(2n)\,!\over4^n(n\,!)^2}u^n\).

5. Pour \(t>1\) et \(x\) assez proche de 0, montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{t(t-x)}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}{x^n\over t^{n+1}}\).

6. En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.