Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2420] mines PC 2009 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^1{x^a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}\,dx\).

1. Justifier l’existence de \(F\).

2. Donner un équivalent de \(F(a)\) quand \(a\rightarrow+\infty\).

[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).

1. Préciser le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

3. En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).

4. Étudier la monotonie de \(f\).

5. Montrer que \(f\) est continue.

6. Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).

7. Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.

[planches/ex0793] mines PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^x{e^t\over t+x}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Étudier la limite de \(f\) en \(0^+\).

[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).

1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).

2. Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.

[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?

On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).