Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2367] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). Étudier \(f\) aux bornes.

[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.

4. Représenter le graphe de \(f\).

[oraux/ex2697] mines PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.

[planches/ex8458] mines PC 2022

1. Montrer que la fonction \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\) est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\), et de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).

2. Montrer que le graphe de \(f\) possède une tangente verticale au point d’abscisse 1.