Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0722] tpe MP 2013 Soit \(\Phi:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Domaine de définition ? Limites aux bornes ?

2. Donner un équivalent en \(+\infty\).

[planches/ex8906] imt MP 2022 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).

1. Étudier le domaine de définition, puis la continuité de \(F\).

2. Déterminer un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).

[planches/ex8904] imt MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).

1. Quel est l’ensemble de définition de \(f\) ?

2. Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{1\over x}+o\left({1\over x}\right)\).

[oraux/ex2689] mines PSI 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Calculer \(f-f'\).

3. Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex0789] mines PSI 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\). On rappelle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt={\sqrt\pi\over2}\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).

3. Donner un équivalent simple de \(f'\) au voisinage de \(+\infty\).

4. Calculer \(f-f'\).

5. En déduire un développement asymptotique de \(f\) à deux termes au voisinage de \(+\infty\).