Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1376] polytechnique MP 2024 Déterminer un équivalent en \(1^-\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}\mathrm{d} t\).

[examen/ex0494] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\in\left]1,+\infty\right[\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie et monotone.

2. Montrer que \(F\) est continue.

3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

4. Trouver la limite de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow1^+\).

[examen/ex2269] centrale MP 2024

1. Rappeler la formule de Stirling.

2. Donner un équivalent de \(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)^{2n}\,\mathrm{d}x\) quand \(n\to+\infty\).

3. On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-x^2t^2)}}\).

   1. Ensemble de définition ?

   2. Développer \(F\) en série entière au voisinage de \(0\).

   3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers 1.

[examen/ex3799] mines PC 2025 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3+x^3}\).

1. Domaine de définition ?

2. Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.

3. Calculer \(f(0)\).

[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.

4. Représenter le graphe de \(f\).