Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0785] polytechnique, espci PC 2015 Soit \[f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt.\] Montrer que \(f\) est bien définie. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[examen/ex3794] mines PC 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(F\) est continue et décroissante sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

3. Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

   Indication : Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[examen/ex0493] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{x+1}+t+1}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).

2. Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur son ensemble de définition. Donner une expression de la dérivée.

3. Montrer que \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3}{2x}\) et \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow0^+}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits2}{x}\).

[planches/ex8448] mines PC 2022 Pour tout \(x\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

3. Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.

4. Équivalents de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.