Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex0799] mines MP 1997 Soit \(I(\alpha)=-\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^\alpha)\,dt\), avec \(\alpha>0\). Étudier l’existence de l’intégrale ; écrire \(I(\alpha)\) comme somme d’une série. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\) tend vers \(0\). Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex2637] centrale PC 2017 (avec Python)

On pose \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Tracer le graphe de \(f\).

2. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)\) de polynômes telle que \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}\).

3. Étudier la monotonie de \(f\). Déterminer les limites aux bornes.

[oraux/ex2405] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie. Étudier la monotonie de \(f\).

2. Calculer, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x+1)+f(x)\).

3. Donner des équivalents de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).

[planches/ex2392] mines PC 2017 On pose, lorsque l’intégrale est définie, \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\), étudier sa continuité et sa monotonie.

2. Calculer \(f(x)+f(x+1)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).