[oraux/ex5381] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\,dt\). Définition ? Limite en \(+\infty\) ? Dérivabilité ? Équivalent en \(+\infty\) ? Que vaut \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\,dx\) ?
[oraux/ex5381]
[concours/ex1898] ens MP 1999 Équivalent en \(+\infty\) de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\displaystyle{te\over x}\right)^{\!x}\,dx\) ?
[concours/ex1898]
[concours/ex3066] polytechnique M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(a\) tend vers \(0^+\), de : \[I_a=\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^4)(t^2+a^2)}.\]
[concours/ex3066]
[planches/ex0904] navale PSI 2016 Soit \(x>0\). Justifier l’existence de \[f(x)=\int_0^x{e^{-t}\over\sqrt{t(x-t)}}\,dt.\] Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0904]
[examen/ex3011] polytechnique MP 2025 Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}(te^{-t})^x\,\mathrm{d}t\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[examen/ex3011]
[concours/ex3292] ens cachan M 1993 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\left({x\over t}\right)^{\!\!\beta}\,dt\) où \((\alpha,\beta)\in\mathbf{C}^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits\alpha>0\). Chercher un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
[concours/ex3292]
[oraux/ex2347] centrale MP 2006 On note \(I\) l’ensemble des réels \(x\) tels que l’application \(t\mapsto t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\) est intégrable sur \(\left]0,\pi/2\right]\). On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\) pour tout \(x\in I\).
[oraux/ex2347]
Déterminer \(I\).
Montrer que \(f\) est de classe \(C^\infty\).
Étudier les variations de \(f\) : monotonie, limites aux bornes.
Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
[planches/ex0689] polytechnique MP 2013 Pour \(\lambda>0\), on définit, sous réserve d’existence, \[I(\lambda)=\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)^\lambda}.\] Déterminer la limite puis un équivalent de \(I(\lambda)\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex0689]
[examen/ex3606] mines PSI 2025 Soit \(s>0\). Soit \(w:(a,x,y,t)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\times\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\frac{ay^{2s}}{((x-t)^2+y^2)^{s+\frac{1}{2}}}\).
[examen/ex3606]
Pour tout \((a,x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), établir la convergence de \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(a,x,y,t)\,\mathrm{d}t\).
Montrer qu’il existe une unique constante \(c\in\mathbf{R}\) telle que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t=1\).
Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(\varepsilon>0\). On pose \(U_\varepsilon=\{t\in\mathbf{R},\ |t-x|>\varepsilon\}\).
Montrer que \(\displaystyle\int_{U_\varepsilon}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}0\).
Soit \(f\) une fonction continue et bornée sur \(\mathbf{R}\).
Pour tout \(x\in\mathbf{R}\), prouver \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)f(t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}f(x)\).
[planches/ex2818] PC 2017 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \[f_n:x\longmapsto\int_0^{+\infty}{e^{-xt}\over(1+t)^n}\,dt\quad\hbox{et}\quad g_n:x\longmapsto\int_x^{+\infty}{e^{-t}\over t^n}\,dt.\]
[planches/ex2818]
Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) sont définies sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que, pour \(x>0\), \(f_n(x)=x^{n-1}e^xg_n(x)\).
Montrer que, pour \(n\geqslant 2\), \(f_n\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et y est de classe \(\mathscr{C}^\infty\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Donner un équivalent de \(g_n(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).
Montrer que \(g_n(x)\sim e^{-x}/x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Donner une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par \(f_n\).
[concours/ex3644] mines M 1992 Trouver un équivalent de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,t^x\,dt\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex3644]
[concours/ex3642] mines M 1992 Soit \(I(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \left(a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\right)^{-\textstyle{1\over3}}\,dt\). Équivalent quand \(a\) tend vers \(0^+\).
[concours/ex3642]
[oraux/ex4910] ens lyon MP 2012 Soient \(E:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto \displaystyle\int_x ^{+\infty}\frac{e^{-y}}{y}\,dy\) et \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^x \frac{1-e^{-y}}{y} \,dy\).
[oraux/ex4910]
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(E(x) -F(x)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x +\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-y}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits y \,dy\).
Soit \(s>0\). Montrer qu’il existe un unique réel \(>0\) que l’on notera \(x(s)\) tel que \(E\left(x(s)\right)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1-e^{-s})\).
Donner un développement limité à deux termes de \(x(s)\) quand \(s\rightarrow 0^+\).
[examen/ex4351] centrale PC 2025 (avec Python)
[examen/ex4351]
Python
Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(f\) est bien définie.
Montrer que \(f\) est continue.
Montrer que \(f\) a pour limite 0 en \(+\infty\).
Une fonction calculant \(f\) est fournie dans Python. Afficher le graphe de \(f\) sur \([0,1;10]\). Conjecturer la monotonie et la limite de \(f\) en 0. Afficher le graphe sur \([10,100]\) de \(xf(x)\) et de \((x+1)f(x)\). Conjecturer un encadrement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). Tracer \(x\mapsto\displaystyle\frac{f(x)}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\) et conjecturer un équivalent en 0.
Démontrer la monotonie et la limite en 0 conjecturées à la question précédente.
Montrer l’équivalent en \(+\infty\).
[concours/ex3661] mines M 1992 On pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1\sqrt{x^2+2xt+t^3}\,dt\).
[concours/ex3661]
Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et sur un voisinage de \(-\infty\).
Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\). \(F\,'\) a-t-elle une limite en \(0\) ?
Montrer que le graphe de \(F\) admet une asymptote en \(+\infty\), la déterminer.
Montrer que le domaine de définition de \(F\) est \(\left]-\infty,\xi\right]\cup\left[0,+\infty\right[\), le réel \(\xi\) étant à déterminer.
[oraux/ex2346] centrale MP 2006 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1{t^n-t^{n+1}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\) et \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-(n+1)s}-e^{-(n+2)s}\over s}\,ds\) ; on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{t-1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}e^{-xt}\,dt\).
[oraux/ex2346]
Justifier la définition de \(I_n\).
Calculer \(I_n\) pour \(n=0\), 1, 2, à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
Comparer \(I_n\) et \(J_n\).
Étudier la limite quand \(\varepsilon\) tend vers 0 de \(\displaystyle\int_{(n+1)\varepsilon}^{(n+2)\varepsilon}{e^{-s}\over s}\,ds\). En déduire \(I_n\) et \(J_n\).
Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Montrer que \(f\) est \(C^\infty\).
Étudier les variations de \(f\) et ses limites aux bornes de son intervalle de définition.
Montrer que \(f\) est développable en série entière ; préciser son rayon de convergence.
[planches/ex5108] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)(1+t^x)}\).
[planches/ex5108]
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(0)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\).
Soit \(x\in\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(x)\).
[oraux/ex5522] mines PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}\,dt\).
[oraux/ex5522]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\).
Donner un équivalent de \(f\) aux bornes.
[planches/ex0691] mines MP 2013 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t\over1+t^2}e^{-xt}\,dt\).
[planches/ex0691]
Déterminer le domaine de définition réel de \(F\).
Étudier la continuité et les variations de \(F\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\) et quand \(x\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2358]
[concours/ex5212] escp B/L 2007 Pour \(t\in\mathbf{R}^*_+\) et \(x\in\mathbf{R}^*\), on pose : \(g(t,x)=\displaystyle{x\over \sqrt{t}(1+tx^2)}\), et \(u_n(x)=g(n,x)\).
[concours/ex5212]
Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n(x)\).
Pour les \(x\) réels pour lesquels cette série converge, on pose : \[S(x)=\sum\limits\limits_{n=1}^{+\infty}u_n(x).\]
On pose maintenant, pour \(x>0\), \[I_1(x)=\int_{1}^{+\infty}g(t,x)\,dt\quad\hbox{et}\quad I_2(x)=\int_{0}^{+\infty}g(t,x)\,dt.\] Montrer que ces deux intégrales sont convergentes puis calculer leur valeur.
Montrer que \(I_1(x)\leqslant S(x)\leqslant I_2(x)\) et en déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{x\rightarrow 0}S(x)\).
[examen/ex3802] mines PC 2025 On pose \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,\mathrm{d}t\). Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de \(I(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).
[examen/ex3802]
[oraux/ex2298] mines MP 2005 Soit, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^xe^{-tx}\,dt\).
[oraux/ex2298]
Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).
[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).
[concours/ex3881]
[oraux/ex5376] mines MP 2012 Équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), de \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^\pi x^t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\,dt\).
[oraux/ex5376]
[oraux/ex2492] ccp PC 2010 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{1\over1+t^x}\,dt\).
[oraux/ex2492]
Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(F(x)+F(-x)=1\). Calculer \(F(k)\) pour \(k\in\{-2,-1,0,1,2\}\).
Déterminer les limites de \(F\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Donner un équivalent de \(F(x)-1\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Montrer que \(F\) est convexe sur \(\mathbf{R}_+\) et concave sur \(\mathbf{R}_-\).
[planches/ex7789] polytechnique MP 2022 On pose \(g:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over\pi(1+x^2)}\). Pour \(y\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(g_y:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over y}g(x/y)\).
[planches/ex7789]
Soit \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{C}\) continue, nulle en dehors d’un segment.
Montrer que, pour tout réel \(x\), la fonction \(y\longmapsto\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt\) tend vers \(f(x)\) en \(0^+\).
Montrer plus précisément que, pour tout réel \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta>0\) tel que \(\left|\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt-f(x)\right|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(x\in\mathbf{R}\) et tout \(y\in\left]0,\delta\right]\).
[planches/ex9499] polytechnique MP 2023 Soient \(\alpha\), \(\beta>0\). Pour \(x>0\), on pose \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\beta-1}e^{-t-xt^\alpha}\mathrm{d}t\).
[planches/ex9499]
Déterminer la limite et un équivalent de \(I\) en \(+\infty\).
Donner un développement asymptotique de \(I\) à tout ordre.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d’une série convergente pour tout \(x>0\).
[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).
[planches/ex0723]
[planches/ex5120] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\).
[planches/ex5120]
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).
Montrer que \(f\) est croissante et continue sur \(\mathbf{R}\).
Donner une expression de \(f(x)\) comme somme de série pour \(x>0\).
Étudier la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0741] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Trouver un équivalent, lorsque \(t\rightarrow+\infty\), de : \[I(t)=\int_\mathbf{R}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x^2)e^{-t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x)^2}\,dx.\]
[planches/ex0741]
[concours/ex0682] polytechnique PC 1997 Soit \(\varphi(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty} {tx^2\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\over\left(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\right)^2}\,dx\). Étudier \(\varphi\) et trouver un équivalent quand \(t\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex0682]
[planches/ex0845] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose, sous réserve d’existence, \[f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt.\]
[planches/ex0845]
Quel est le domaine de définition de \(f\) ?
Étudier la continuité de \(f\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex2406] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{e^{-t^2}\over t}\,dt\).
[oraux/ex2406]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle dérivable ?
Montrer que \(e^{x^2}f(x)\) est bornée sur \(\left[1,+\infty\right[\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\).
L’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est-elle convergente ?
[oraux/ex2315] centrale PSI 2005 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2xt^2)\over t}\,dt\).
[oraux/ex2315]
Montrer que \(f\) est bien défini.
Continuité et dérivabilité de \(f\).
Étudier le comportement de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex0089] polytechnique MP 1996 Montrer que, pour tout \(\theta>0\), il existe \(C_\theta>0\) tel que \[\int_0^{\textstyle{\theta\over\sqrt\alpha}}(1-x^2)^a\,dx \mathrel{\mathop\sim\limits_{a\rightarrow+\infty}} {C_\theta\over\sqrt a}\,.\]
[concours/ex0089]
[planches/ex0848] mines MP 2016 Étudier \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(tx)\over t\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)}\,dt\) : domaine de définition (\(x\in\mathbf{R}\)), caractère \(\mathscr{C}^\infty\), équivalents aux bornes.
[planches/ex0848]
[planches/ex0902] imt MP 2016 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex0902]
Étudier l’existence et la continuité de \(F\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Déterminer la limite éventuelle de \(xF(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex5754] centrale PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t\, e^{-t}}{t+x}\,dt.\)
[oraux/ex5754]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\), dérivable sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en 0.
Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,dt\).
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(0\leqslant 1-x\, f(x)\leqslant 2/x\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex3286] polytechnique MP 2018 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(xf'(x)-f(x)\rightarrow\alpha\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex3286]
Pour \(m>0\), trouver la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle{f(mx)\over f(x)}\).
Pour tout \(t>0\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\) converge.
On suppose dans cette question \(\alpha>-1\). Montrer qu’il existe \(C>0\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow0^+}}{C\over t}f(1/t)\).
[planches/ex1825] polytechnique PSI 2017 Soit \[g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R},\quad u\longmapsto\int_0^{+\infty}{1-e^{-ut}\over t(\sqrt t+1)}\,dt.\]
[planches/ex1825]
Vérifier l’existence de \(g\).
Étudier la dérivabilité de \(g\) et ses variations.
Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(g(u)\sim c\sqrt u\) au voisinage de \(0^+\).
[oraux/ex5521] mines PC 2012 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \({\cal C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
[oraux/ex5521]
[planches/ex5294] mines PC 2019 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_+^*)\). On pose \(F:a\in\mathbf{R}_+\longmapsto\displaystyle\int_0^1f(t)^a\,dt\).
[planches/ex5294]
Montrer que \(F\) est dérivable. Calculer \(F'(0)\).
Déterminer la limite de \(a\longmapsto(F(a))^{1/a}\) lorsque \(a\rightarrow0^+\).
[planches/ex0744] polytechnique MP 2014 Donner un équivalent, lorsque \(\lambda\) tend vers \(+\infty\), de : \[\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(-\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x\right)\,dx.\]
[planches/ex0744]
[planches/ex4527] ens paris MP 2019 Déterminer la limite de \(\displaystyle{1\over A}\int_1^AA^{1/x}\,dx\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex4527]
[planches/ex9040] ccinp PC 2022 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^xe^{2t}\,dt\).
[planches/ex9040]
Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\displaystyle\int_0^1t^x\,dt\) converge. En déduire le domaine de définition de \(f\).
Pour \(x\in\left]-1,+\infty\right[\), montrer que \(0\leqslant f(x)\leqslant\displaystyle{e^2\over1+x}\). En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).
Trouver une inégalité montrant que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{-1^+}f=+\infty\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et calculer \(f'(x)\).
Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(f(x+1)\).
Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{\alpha\over x}+{\beta\over x^2}+o\left({1\over x^2}\right)\).
Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{-1^+}}\displaystyle{1\over1+x}\).
[examen/ex0100] mines PSI 2023 Soient \(s\in[0,1]\), et : \[w:(a,x,y,t)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\times\mathbf{R}\mapsto\frac{ay^{2s}}{((x-t)^2+y^2)^{s+1/2}}.\]
[examen/ex0100]
Montrer que \(t\mapsto w(a,x,y,t)\) est intégrable sur \(\mathbf{R}\) pour tout \((a,x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\).
Montrer qu’il existe un unique \(c\in\mathbf{R}\) tel que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t=1\).
Soient \(\varepsilon>0\) et \(U_\varepsilon=\{t\in\mathbf{R},\ |t|>\varepsilon\}\). Montrer que \(\displaystyle\int_{U_\varepsilon}w(a,x,y,t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\rightarrow0^+}}0\).
Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et bornée. Montrer que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} w(c,x,y,t)f(t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\rightarrow0^+}}f(x)\).
[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).
[concours/ex2102]
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?
\(f\) est-elle continue ?
Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).
[planches/ex3283] polytechnique MP 2018
[planches/ex3283]
Soient \(A\), \(B\), \(K\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) telle que, pour tout \(t\geqslant 0\), \(f(t)\leqslant Ke^{Bt}\). On suppose qu’il existe \((a_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(t\in[0,A]\), \(f(t)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kt^k\). Donner un développement asymptotique à tout ordre de \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(t)\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).
Soit \(a\in\mathbf{R}\). Donner un développement asymptotique à tout ordre, lorsque \(x\rightarrow+\infty\), de \(g:x\mapsto x^ae^x\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t}t^{a-1}\,dt\).
[planches/ex6812] mines MP 2021 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_{-a}^a{\sqrt{1+x^2}\over\sqrt{a^2-x^2}}\,dx\). Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\).
[planches/ex6812]
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