[examen/ex0556] centrale PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(xt)}{t^2}e^{-t}\,\mathrm{d}t\). Préciser le domaine de définition de \(f\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).
[examen/ex0556]
[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex0699]
Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Étudier la régularité de \(f\).
Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.
Représenter le graphe de \(f\).
[examen/ex0285] mines PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t^2}\mathrm{d}t\).
[examen/ex0285]
La fonction \(f\) est-elle continue, de classe \(\mathscr{C}^1\), de classe \(\mathscr{C}^{\infty}\) ?
Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
[planches/ex0905] imt PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).
[planches/ex0905]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}_+\).
Calculer \(f(0)\).
Indication : On pourra poser \(u=1/t\).
Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex1838] mines MP 1999 Étudier la fonction \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\). Préciser le comportement de \(f\) aux bornes de son domaine de définition.
[concours/ex1838]
[examen/ex4242] saint-cyr PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex4242]
Déterminer l’ensemble de définition \(\mathscr{D}_f\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue puis de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathscr{D}_f\).
Conjecturer à l’aide de Python la valeur de \(f(2)\). Prouver cette conjecture.
Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur son domaine.
Calculer les limites de \(f\) en \(1^+\) et en \(+\infty\).
[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).
[examen/ex2650]
Préciser le domaine de définition de \(f\).
Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).
En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).
Étudier la monotonie de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue.
Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).
Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.
[planches/ex7407] ccinp PC 2021
[planches/ex7407]
Montrer que \(\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{t-1}}\) existe.
On définit \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^n\sqrt{t-1}}\).
Pour quels entiers \(n\) cette intégrale est-elle définie ?
Montrer que la suite \((I_n)\) est positive et décroissante.
Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité de \(f\).
Pour \(u\in\left]-1,1\right[\), montrer que \((1-u)^{-1/2}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(2n)\,!\over4^n(n\,!)^2}u^n\).
Pour \(t>1\) et \(x\) assez proche de 0, montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{t(t-x)}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}{x^n\over t^{n+1}}\).
En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.
[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?
[concours/ex3061]
On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).
[concours/ex1177] polytechnique PC 1998 Soit \(\alpha>0\) et \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^\alpha t+x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^\alpha t\right)^{1/\alpha}}\).
[concours/ex1177]
Déterminer le domaine de définition de \(I(x)\).
Donner un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^+\).
[planches/ex7412] ccinp PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)^x}\).
[planches/ex7412]
Vérifier que \(f\) est bien définie sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).
Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).
Indication : Intégrer par parties.
En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression de \(f(n)\) à l’aide de factorielles et de puissances de 2.
Soient \(x\) et \(y\) dans \(\left]1/2,+\infty\right[\) tels que \(x\leqslant y\). Comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).
Que dire de la nature de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,dt\) ?
Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\) et retrouver le résultat précédent.
[planches/ex0838] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1x^{tx}\,dx\). Donner un développement limité à l’ordre 2 de \(f\) en 0.
[planches/ex0838]
[oraux/ex2420] mines PC 2009 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^1{x^a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}\,dx\).
[oraux/ex2420]
Justifier l’existence de \(F\).
Donner un équivalent de \(F(a)\) quand \(a\rightarrow+\infty\).
[concours/ex2610] tpe, int, ivp M 1995 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{tx}\,dt\). Définition, continuité, limite en \(+\infty\).
[concours/ex2610]
[planches/ex2577] centrale PSI 2017 (avec Python)
[planches/ex2577]
Python
On note \(L=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).
Montrer que cette intégrale est convergente.
Écrire une fonction donnant une valeur approchée de \(L\). Conjecturer la valeur exacte.
Calculer \(L\).
On note, pour \(x>0\), \(J(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
Montrer que \(J\) est continue sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(J(x)\). Donner les valeurs obtenues pour \(x\in\{1/2,1,3,10\}\).
On note, pour \(x>0\), \(K(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(K(x)\).
Avec Python, visualiser l’existence de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0}(J(x)-K(x))\) et conjecturer la valeur de cette limite.
Démontrer cette conjecture.
[planches/ex0793] mines PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^x{e^t\over t+x}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Étudier la limite de \(f\) en \(0^+\).
[planches/ex0793]
[concours/ex0867] ens PC 1997 Équivalents en \(0\) et en \(+\infty\) de \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2xt\over t^2(1+t^2)}\,dt\).
[concours/ex0867]
[concours/ex1525] centrale MP 1998 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).
[concours/ex1525]
Préciser l’ensemble de définition (réel) et étudier la continuité de \(f\).
Montrer que pour tout \(x\in\left]-2,+\infty\right[\), \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\displaystyle{1\over n(n+x+1)^2}\). Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).
[concours/ex5737]
Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).
Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.
[concours/ex5729] mines MP 2007 On pose, pour \(a>0\) : \[I(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}\hbox{ et }J(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}.\]
[concours/ex5729]
Justifier la définition de \(I(a)\) et \(J(a)\).
Donner un équivalent, lorsque \(a\rightarrow0^+\), de \(J(a)\) puis de \(I(a)\).
[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).
[oraux/ex2383]
Donner le domaine de définition de \(f\).
Étudier la continuité de \(f\).
Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.
Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex3211] mines M 1993 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\displaystyle\int^\varepsilon_{\varepsilon^2} {du\over\sqrt{(u+1)u(\varepsilon+\varepsilon^2-u)}}\).
[concours/ex3211]
[concours/ex3769] centrale M 1992 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Domaine de définition, monotonie ? Calculer \[I_n=\int_1^{+\infty}{dt\over t^{n+1}\sqrt{t-1}}\] et montrer que \(f\) est développable en série entière.
[concours/ex3769]
Indication : on pourra écrire \[{1\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}=\sum\limits_{p=0}^{+\infty}u_p(t)x^p,\] et montrer la décroissance de la suite \((u_p(t))\).
[oraux/ex5380] mines MP 2012 Soient \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac1{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\) et \(J:x\mapsto \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
[oraux/ex5380]
Déterminer la limite en 0 de \(I(x) -J(x)\).
Donner une développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(I(x)\) en \(0\).
[concours/ex1510] centrale PC 1998 On pose \(I(a)=\displaystyle\int_0^1{dt\over t^3+a^3}\).
[concours/ex1510]
Étudier la limite de \(I(a)\) lorsque \(a\) tend vers \(+\infty\).
Trouver un équivalent de \(I(a)\).
[oraux/ex5374] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto \displaystyle\frac12\,\int_0^{\pi/2}e^{-x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,\,dt\).
[oraux/ex5374]
Définition, régularité, variations, limites aux bornes.
Existence et unicité d’un point fixe.
Étude des suites réelles vérifiant \(\forall n\in\mathbf{N}\,,\;x_{n+1}=f(x_n)\).
[planches/ex0831] polytechnique MP 2016 Soit \[I:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over t+x}\,dt.\] Déterminer un équivalent de \(I(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).
[planches/ex0831]
[planches/ex8096] mines MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{xu\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u)}\,du\).
[planches/ex8096]
Domaine de définition de \(f\) ?
Soit \(g\) une fonction continue par morceaux et bornée sur \(\mathbf{R}\), continue en 0. Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}xg(u)e^{-xu}\,du\) tend vers \(g(0)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\). Que peut-on dire si \(g\) est supposée intégrable au lieu de bornée ?
Déterminer la limite de \(xf(x)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\).
[planches/ex5112] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle{1\over x}\int_0^{+\infty}{1-e^{-tx}\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex5112]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Trouver un équivalent simple de \(f\) en \(+\infty\).
Trouver un équivalent simple de \(f\) en 0.
[planches/ex5647] imt PSI 2019 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-xt^2}\over1+t}\,dt\).
[planches/ex5647]
Montrer que pour tout \(x>0\), l’intégrale \(F(x)\) est convergente.
Étudier les variations de la fonction \(F\).
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Montrer que, pour tout \(x>0\), \(F(x)\geqslant\displaystyle{1\over e}\int_0^{1/\sqrt x}{dt\over1+t}\). En déduire la limite de \(F\) en 0.
[planches/ex2128] mines MP 2017 On pose \(I(s)=\displaystyle\int_s^1{dt\over\sqrt{t(t-s)}}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). La fonction \(I\) est elle continue ? de classe \(\mathscr{C}^1\) ? Donner un équivalent de \(I(s)\) quand \(s\) tend vers 1.
[planches/ex2128]
[concours/ex3201] mines M 1993 Soient \(a\) un nombre réel et soit \(J(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^4x+a^4}}\,dx\).
[concours/ex3201]
Étudier la convergence de l’intégrale \(J(a)\) suivant les valeurs de \(a\).
Étudier la limite de \(J(a)\) en \(0\).
Donner un équivalent de \(J(a)\) en \(0\).
[planches/ex0846] mines MP 2016 On note, sous réserve d’existence, pour \(x\in\mathbf{R}\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)+x}\).
[planches/ex0846]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et déterminer sa limite en \(+\infty\).
Montrer que pour \(x\in\left]1,+\infty\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{2\,du\over1+2ux+u^2}\). Calculer \(f(1)\).
[planches/ex7052] mines PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{dt\over(1-t^x)^{1/x}}\).
[planches/ex7052]
Quelle est la limite de \(f\) en \(+\infty\) ?
[concours/ex3432] tpe, int, iie M 1993 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{t^x}\,dt\). Domaine de définition, continuité, tableau de variation, limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).
[concours/ex3432]
[planches/ex5768] imt PC 2019 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).
[planches/ex5768]
Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).
Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), la limite de \(\displaystyle{f(x)\over x}\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Donner l’allure de la courbe représentative de \(f\).
[planches/ex4978] mines MP 2019 Domaine de définition, continuité et équivalents aux bornes de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t\sqrt{1+t^x}}\).
[planches/ex4978]
[planches/ex2260] mines PSI 2017 On définit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t}\).
[planches/ex2260]
Prouver le caractère \(\mathscr{C}^1\) de \(f\).
Établir l’existence et la valeur de la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex9034] ensea PC 2022 On pose \(F:a\longmapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).
[planches/ex9034]
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow0}\displaystyle{1\over a}\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).
[planches/ex0903] imt MP 2016 Pour \(x>0\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt\).
[planches/ex0903]
Montrer que \(F\) est bien définie et continue.
On pose \(G(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt-{1\over x}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\). Montrer que \(G(x)=O(1/x^2)\) quand \(x\rightarrow+\infty\). En déduire un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\).
[planches/ex1907] polytechnique, espci PC 2017 Soit : \[I:\alpha\in\mathbf{R}_+\longmapsto\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)(1+x^\alpha)}.\]
[planches/ex1907]
Justifier la définition de \(I\). Calculer \(I(0)\).
Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\rightarrow+\infty\).
Calculer \(I(\alpha)\) pour \(\alpha\in\mathbf{R}_+\).
[concours/ex3644] mines M 1992 Trouver un équivalent de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,t^x\,dt\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex3644]
[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).
[concours/ex2102]
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?
\(f\) est-elle continue ?
Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).
[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)
[planches/ex0879]
Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]
Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).
Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).
Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.
Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).
Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).
[oraux/ex2315] centrale PSI 2005 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2xt^2)\over t}\,dt\).
[oraux/ex2315]
Montrer que \(f\) est bien défini.
Continuité et dérivabilité de \(f\).
Étudier le comportement de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex5108] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)(1+t^x)}\).
[planches/ex5108]
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(0)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\).
Soit \(x\in\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(x)\).
[oraux/ex2272] mines 2004 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{th}}{\hbox{th}}{\mathrm{th}}{\mathrm{th}}}\nolimits(xt)\over t^x(1+t^4)}\,dt\).
[oraux/ex2272]
La fonction \(f\) est-elle continue ?
Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.
[concours/ex0682] polytechnique PC 1997 Soit \(\varphi(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty} {tx^2\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\over\left(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\right)^2}\,dx\). Étudier \(\varphi\) et trouver un équivalent quand \(t\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex0682]
[oraux/ex2385] centrale MP 2008
[oraux/ex2385]
Pour quelles valeurs du réel \(x\) l’intégrale \(f(x)=\displaystyle\int_0^x{dt\over t+e^{xt}}\) existe-t-elle ?
Donner la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis un équivalent simple.
Quelle est la limite de \(f\) en 0 ?
[planches/ex0902] imt MP 2016 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex0902]
Étudier l’existence et la continuité de \(F\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Déterminer la limite éventuelle de \(xF(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
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