[planches/ex8802] centrale PC 2022 Soit \(f\) la fonction donnée par \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,dt\).
[planches/ex8802]
Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier ses variations.
Trouver une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).
Pour \(x>0\), on pose \(\varphi(x)=xf(x)f(x-1)\). Montrer que, pour \(x>0\), \(\varphi(x+1)=\varphi(x)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(-1\).
[examen/ex1782] mines MP 2024 Soit \(f\) définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex1782]
Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue et décroissante.
Pour tout \(x\in D_f\), on pose \(g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)\).
Montrer que : \(\forall x\in D_f\), \(g(x+1)=g(x)\).
Déterminer des équivalents simples de \(f\) aux extrémités de \(D_f\).
[concours/ex1509] centrale PC 1998
[concours/ex1509]
Étudier l’intégrabilité sur \(\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) de \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\).
On pose, si possible, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt\) puis \(g(x)=xf(x)f(x-1)\).
Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(x+2)\).
Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique.
Étudier la monotonie de \(x\mapsto\displaystyle{g(x)\over x+1}\).
Calculer \(g(n)\) pour \(n\) entier.
Montrer que \(g\) admet \(\displaystyle{\pi\over2}\) comme limite en \(+\infty\).
Que dire de \(g\) ?
[planches/ex2878] hec S 2018
[planches/ex2878]
Question de cours : égalité et inégalités des accroissements finis.
Justifier, pour tout \(x\leqslant 0\), l’inégalité : \(|e^x-1|\leqslant|x|\).
Justifier la convergence absolue de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).
On note \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,dt\).
Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et justifier que \(f\) est monotone.
Justifier, pour tout \(x\in D_f\), l’égalité : \[f(x)={x+2\over x+1}f(x+2).\]
Établir, pour tout \((x,y)\in{\mathbf{R}_+^*}^2\), l’inégalité : \[\left|\vphantom{|_|}f(x)-f(y)\right|\leqslant|x-y|\int_0^{\pi/2}|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)|\,dt.\]
Démontrer que \(f\) est continue.
Trouver la limite et un équivalent simple de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1_+\).
Justifier, pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’inégalité : \[f(n)\leqslant{1\over\sqrt[3]n}+{\pi\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^n\left({1\over\sqrt[3]n}\right).\]
En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers l’infini.
[concours/ex6016] centrale MP 2007 Pour \(x\) réel, on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).
[concours/ex6016]
Quel est le domaine de définition de \(F\) ?
Montrer que \(F\) est de classe \(C^\infty\).
Trouver une relation entre \(F(n)\) et \(F(n-2)\).
En déduire que \(nF(n)F(n-1)\) est constant.
Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(F\) en \(-1\).
[concours/ex1899] ens PC 1999 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\). Montrer que \(g(x)=xf(x)f(x-1)\) est \(1\)-périodique. Montrer que \(f(x)\sim\sqrt{\pi/2x}\) en \(+\infty\). Montrer que \(g\) est continue.
[concours/ex1899]
[examen/ex0699] imt MP 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0699]
Montrer que \(F\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).
Montrer que \(F(n+2)=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}F(n)\). Calculer \((n+1)F(n)F(n+1)\).
Donner un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex2334] mines MP 2006
[oraux/ex2334]
Pour quels \(x\) de \(\mathbf{R}\) l’intégrale : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\) existe-t-elle ? Dans ce cas, soit \(f(x)\) sa valeur.
Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son intervalle de définition.
Que dire de \(x\mapsto(x+1)f(x)f(x+1)\) ?
[concours/ex3293] ens lyon M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, de la fonction définie par \(\displaystyle\sum\limits_0^\infty e^{-n^2x}\).
[concours/ex3293]
[oraux/ex2728] PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).
[oraux/ex2728]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,+\infty\right[\).
Calculer \(f(1)\). Montrer : \(\forall x>-1\), \((x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)\). En déduire un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1^+\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).
Justifier : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle{1\over2}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)\over2}\right)\,dt\). En déduire \(f'(0)\).
[planches/ex0717] centrale PSI 2013 (avec Maple)
[planches/ex0717]
Maple
Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
Calculer \(f(1)\), \(f(2)\).
Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).
Montrer qu’il existe une suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) de polynômes telle que : \[\forall x\in D,\quad f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}.\]
Étudier la monotonie de \(f\) et ses limites aux bornes de \(D\).
Tracer le graphe de \(f\).
Montrer qu’il existe \(A\in\mathbf{R}^*\), \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \(f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{A\over x^\alpha}\).
[planches/ex5111] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
[planches/ex5111]
Écrire \(f\) comme somme d’une série de fonctions.
Déterminer la limite de \(f\) en 0.
[planches/ex2637] centrale PC 2017 (avec Python)
[planches/ex2637]
Python
On pose \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Tracer le graphe de \(f\).
Montrer qu’il existe une suite \((P_n)\) de polynômes telle que \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}\).
Étudier la monotonie de \(f\). Déterminer les limites aux bornes.
[oraux/ex2260] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
[oraux/ex2260]
Justifier la définition de \(f\).
Développer \(f\) en série de fonctions. Indiquer le domaine de définition de la somme de la dite série.
Étudier les limites en 0 et en \(+\infty\) de \(f\).
[planches/ex6915] mines PSI 2021 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
[planches/ex6915]
Montrer que \(f\) est correctement définie.
Exprimer \(f(x)\) sous forme de la somme d’une série de fonctions.
Donner un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). On admettra : \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^2}={\pi^2\over6}\).
[examen/ex0296] mines PC 2023 Soit \(\alpha>0\). On définit \(I(\alpha)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1-t^\alpha\right)\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0296]
Déterminer le domaine de convergence de \(I(\alpha)\).
Écrire \(I(\alpha)\) comme la somme d’une série.
Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers 0.
Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex2250] mines 2003
[oraux/ex2250]
Existence, pour \(x>0\), de : \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t^{x+1}}\,dt\).
On pose \(\gamma=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\right)\) et \(\zeta(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^x}\) pour \(x>1\).
Calculer \(I(1)\) et \(I(x)\) pour \(x>1\) à l’aide de \(\gamma\) et de \(\zeta(x)\).
Continuité de \(I\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) ?
Montrer que, lorsque \(x\) tend vers 1, \(\zeta(x)=\displaystyle{1\over x-1}+\gamma+o(1)\).
[examen/ex3794] mines PC 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).
[examen/ex3794]
Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Montrer que \(F\) est continue et décroissante sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Déterminer un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Indication : Calculer \(F(x)+F(x+1)\).
[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).
[concours/ex2906]
[oraux/ex2265] polytechnique 2004 Soit, pour \(x>0\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over 1+t+t^{x+1}}\,dt\).
[oraux/ex2265]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Déterminer la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
[planches/ex2392] mines PC 2017 On pose, lorsque l’intégrale est définie, \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\).
[planches/ex2392]
Donner le domaine de définition de \(f\), étudier sa continuité et sa monotonie.
Calculer \(f(x)+f(x+1)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[oraux/ex2405] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[oraux/ex2405]
Montrer que \(f\) est bien définie. Étudier la monotonie de \(f\).
Calculer, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x+1)+f(x)\).
Donner des équivalents de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
[planches/ex8448] mines PC 2022 Pour tout \(x\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex8448]
Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.
Équivalents de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.
[planches/ex0752] mines MP 2014 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0752]
Déterminer le domaine de définition de \(F\). Étudier la continuité, le caractère \(\mathscr{C}^1\), les variations de \(F\) sur son domaine de définition.
Donner un équivalent de \(F\) aux bornes de ce domaine.
[planches/ex3783] mines PC 2018 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\). Déterminer le domaine de définition de \(f\). Déterminer la limite de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
[planches/ex3783]
[examen/ex0493] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{x+1}+t+1}\).
[examen/ex0493]
Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).
Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur son ensemble de définition. Donner une expression de la dérivée.
Montrer que \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3}{2x}\) et \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow0^+}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits2}{x}\).
[planches/ex2119] mines MP 2017 Pour \(x>0\), on pose : \[f(x)=\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]
[planches/ex2119]
Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).
Exprimer \(f\) sous forme de somme et montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({n\,!\,e^n\over n^n}\right)\).
Trouver un équivalent de \(f(n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) puis de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?
[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).
[planches/ex2579]
Trouver le domaine de définition de \(F\).
Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.
Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).
[concours/ex0256] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-E(t)\over t(t+x)}\,dt\). Domaine de définition de \(f\) ? Limites et équivalents en \(0\) et en \(+\infty\).
[concours/ex0256]
[oraux/ex2299] mines MP 2005 Pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), soit : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).
[oraux/ex2299]
Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).
[oraux/ex2252] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^{x+1}+t+1}\).
[oraux/ex2252]
Définition de \(f\). Continuité et monotonie de \(f\).
Équivalents de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
[planches/ex5289] mines PC 2019 On pose \(G:(x,y)\longmapsto\displaystyle\int_0^y{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).
[planches/ex5289]
Montrer que \(G\) est définie sur \((\mathbf{R}_+^*)^2\).
Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(y\longmapsto G(x,y)\) admet une limite finie, notée \(G(x)\), quand \(y\) tend vers \(+\infty\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(G(n,y)=\displaystyle{1\over n}\left(\int_0^n{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt-\int_y^{y+n}{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt\right)\).
On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n)-H(n-1)-\displaystyle{1\over2n}\) converge et en déduire un équivalent de \(G(n)\).
[examen/ex0694] ccinp MP 2023 On pose \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(x+t)}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0694]
Montrer que \(G\) est bien définie pour \(x>0\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^y\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(n+t)}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n}\left(\int_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t-\int_y^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t\right)\).
On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n+1)-H(n)-\displaystyle\frac{1}{2n}\) converge. En déduire un équivalent de \(G(n)\).
[concours/ex0253] mines MP 1996 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\sqrt{(x^2+t^2)(1+t^2)}}\).
[concours/ex0253]
Étudier la définition et la continuité de \(f\).
Étudier la limite, puis un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).
[examen/ex3417] mines MP 2025 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}\). Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
[examen/ex3417]
[examen/ex2901] ens PC 2025 Pour \(a>0\), on pose \(f(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+a^2x^2}}\).
[examen/ex2901]
Justifier la définition de \(f(a)\).
Montrer que \(f(a)\mathrel{\mathop{=}\limits_{a\to+\infty}}\mathrm{O}\left(\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a}{a}\right)\).
[oraux/ex2431] centrale PC 2009 (avec Maple)
[oraux/ex2431]
Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t)\,dt\).
Étudier \(f\) : domaine de définition, continuité, dérivabilité, variations, limites.
Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\alpha\).
Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f\) au voisinage de 0.
[examen/ex0494] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\in\left]1,+\infty\right[\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0494]
Montrer que \(F\) est bien définie et monotone.
Montrer que \(F\) est continue.
Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Trouver la limite de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow1^+\).
[examen/ex2269] centrale MP 2024
[examen/ex2269]
Rappeler la formule de Stirling.
Donner un équivalent de \(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)^{2n}\,\mathrm{d}x\) quand \(n\to+\infty\).
On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-x^2t^2)}}\).
Ensemble de définition ?
Développer \(F\) en série entière au voisinage de \(0\).
Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers 1.
[examen/ex1376] polytechnique MP 2024 Déterminer un équivalent en \(1^-\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}\mathrm{d} t\).
[examen/ex1376]
[concours/ex0245] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-t^2x^2)}}\). Préciser le domaine de définition de \(f\) et étudier sa continuité. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1^-\).
[concours/ex0245]
[planches/ex8800] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+xt)\over t+t^3}\,dt\).
[planches/ex8800]
Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\).
Étudier la continuité de \(f\) sur \(D\).
Déterminer les variations de \(f\) sur \(D\).
Déterminer un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 0.
Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[oraux/ex2402] polytechnique MP 2009
[oraux/ex2402]
Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite réelle avec \(a_n=o(1/n)\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Montrer que : \(f(x)=o(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x))\) quand \(x\rightarrow1^-\).
Soit \(\mu\in\left]0,1\right[\). On pose \(I_\mu=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-\mu^2t^2)}}\). Donner un équivalent de \(I_\mu\) lorsque \(\mu\) tend vers \(1^-\).
[planches/ex0905] imt PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).
[planches/ex0905]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}_+\).
Calculer \(f(0)\).
Indication : On pourra poser \(u=1/t\).
Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex2697] mines PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\).
[oraux/ex2697]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?
[examen/ex3799] mines PC 2025 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3+x^3}\).
[examen/ex3799]
Domaine de définition ?
Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.
[planches/ex8451] mines PC 2022 On pose lorsque cela a un sens \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\).
[planches/ex8451]
Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\). Continuité. Limites aux bornes du domaine de définition.
On note \(\lambda\) la limite de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer un équivalent de \(\lambda-f(x)\) lorsque \(x\longrightarrow+\infty\).
[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).
[examen/ex3896]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.
[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex0699]
Étudier la régularité de \(f\).
Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.
Représenter le graphe de \(f\).
[planches/ex8458] mines PC 2022
[planches/ex8458]
Montrer que la fonction \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\) est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\), et de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).
Montrer que le graphe de \(f\) possède une tangente verticale au point d’abscisse 1.
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