Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).

2. Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).

4. Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).

[examen/ex0294] mines PC 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{t^x(1+t)}\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\).

2. Déterminer le domaine de dérivabilité de \(F\).

3. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).

[planches/ex0719] centrale PC 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Si \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

[planches/ex6819] mines MP 2021 On pose, pour \(x\in\left]0,1\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(t+1)}\). Montrer que \(f\) est bien définie. Trouver des équivalents simples de \(f\) au voisinage de 0 et de 1.

[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).

4. Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).

   1. Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).

   2. Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).

   3. Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).