Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2373] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x^2}\,dt\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue ? Est-elle intégrable en 0 et en \(+\infty\) ?

[planches/ex0893] centrale PC 2016 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). Donner les limites de \(f\) en \(+\infty\) puis en 0.

[concours/ex2984] tpe, int, iie M 1994 Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow0}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a+\left(\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+a}\,dt\right)\!\right)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,dt\).

[planches/ex7490] escp B/L 2022 Soit \(F\) donnée par : \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^1 \displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}\,dt\)

1. 1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\).

   2. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes de \(D\).

   3. Montrer que \(F\) est décroissante sur \(D\).

   On admet que \(F\) est continue sur \(D\).

2. 1. Montrer que \(F\) vérifie : \(\forall x\in D ~~~F(x)+F(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\to 0} xF(x)=1\).

   3. Représenter graphiquement la fonction \(F\).

3. 1. Soit \(x\in D\) fixé. Montrer que pour tout \(t\in [0,1]\) on a : \(\displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k t^{x+k-1} + R_{n}(t)\) où \(R_n\) est une fonction à préciser.

   2. En déduire l’expression de \(F\) sous forme de série.

4. Retrouver cette expression à l’aide de la question 2.

[planches/ex0725] ccp PSI 2013

1. Soit \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^{x-1}\over t+1}\,dt\).

   1. Déterminer le domaine de définition de \(\varphi\).

   2. Montrer que \(\varphi\) est l’unique fonction vérifiant \(\varphi(x+1)+\varphi(x)=\displaystyle{1\over x}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0\).

2. Soit \(S=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\).

   1. Justifier l’existence de \(S\).

   2. Calculer \(\varphi(1/2)\).

   3. En calculant \(\varphi(n+1/2)\), déterminer \(S\).