Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[planches/ex9040] ccinp PC 2022 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^xe^{2t}\,dt\).

1. Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\displaystyle\int_0^1t^x\,dt\) converge. En déduire le domaine de définition de \(f\).

2. 1. Pour \(x\in\left]-1,+\infty\right[\), montrer que \(0\leqslant f(x)\leqslant\displaystyle{e^2\over1+x}\). En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

   2. Trouver une inégalité montrant que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{-1^+}f=+\infty\).

3. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et calculer \(f'(x)\).

   2. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(f(x+1)\).

4. Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{\alpha\over x}+{\beta\over x^2}+o\left({1\over x^2}\right)\).

5. Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{-1^+}}\displaystyle{1\over1+x}\).

[planches/ex3948] centrale PSI 2018 Soit \(f:\left]0,1\right]\rightarrow\mathbf{R}\) continue, telle que \(f(t)\sim\lambda t^\alpha\) au voisinage de 0 avec \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). On pose \(g:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^xf(t)\over\sqrt{1-t}}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(g\).

2. Montrer que \(g\) est continue.

3. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

4. Sans utiliser le théorème de convergence dominée, déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).

[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).

[planches/ex3285] polytechnique MP 2018

1. Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{-xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).

2. Soient \(a\in\left]0,1\right[\) et \(b\in\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(J(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).