Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex3802] mines PC 2025 On pose \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,\mathrm{d}t\). Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de \(I(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).

[oraux/ex5522] mines PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\).

2. Donner un équivalent de \(f\) aux bornes.

[planches/ex9040] ccinp PC 2022 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^xe^{2t}\,dt\).

1. Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\displaystyle\int_0^1t^x\,dt\) converge. En déduire le domaine de définition de \(f\).

2. 1. Pour \(x\in\left]-1,+\infty\right[\), montrer que \(0\leqslant f(x)\leqslant\displaystyle{e^2\over1+x}\). En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).

   2. Trouver une inégalité montrant que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{-1^+}f=+\infty\).

3. 1. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et calculer \(f'(x)\).

   2. Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(f(x+1)\).

4. Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{\alpha\over x}+{\beta\over x^2}+o\left({1\over x^2}\right)\).

5. Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{-1^+}}\displaystyle{1\over1+x}\).

[examen/ex0100] mines PSI 2023 Soient \(s\in[0,1]\), et : \[w:(a,x,y,t)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\times\mathbf{R}\mapsto\frac{ay^{2s}}{((x-t)^2+y^2)^{s+1/2}}.\]

1. Montrer que \(t\mapsto w(a,x,y,t)\) est intégrable sur \(\mathbf{R}\) pour tout \((a,x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer qu’il existe un unique \(c\in\mathbf{R}\) tel que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t=1\).

3. Soient \(\varepsilon>0\) et \(U_\varepsilon=\{t\in\mathbf{R},\ |t|>\varepsilon\}\). Montrer que \(\displaystyle\int_{U_\varepsilon}w(a,x,y,t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\rightarrow0^+}}0\).

4. Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et bornée. Montrer que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} w(c,x,y,t)f(t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\rightarrow0^+}}f(x)\).

[planches/ex0902] imt MP 2016 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).

1. Étudier l’existence et la continuité de \(F\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Déterminer la limite éventuelle de \(xF(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).