Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2277] centrale 2004 Étudier la continuité et la dérivabilité sur \(\mathbf{R}_+\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\sqrt{1+xt}\,dt\). Équivalent en \(+\infty\) ?

[examen/ex3011] polytechnique MP 2025 Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}(te^{-t})^x\,\mathrm{d}t\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2298] mines MP 2005 Soit, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^xe^{-tx}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).

[oraux/ex2406] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{e^{-t^2}\over t}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle dérivable ?

2. Montrer que \(e^{x^2}f(x)\) est bornée sur \(\left[1,+\infty\right[\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\).

4. L’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est-elle convergente ?

[oraux/ex2272] mines 2004 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{th}}{\hbox{th}}{\mathrm{th}}{\mathrm{th}}}\nolimits(xt)\over t^x(1+t^4)}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.