Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2277] centrale 2004 Étudier la continuité et la dérivabilité sur \(\mathbf{R}_+\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\sqrt{1+xt}\,dt\). Équivalent en \(+\infty\) ?

[oraux/ex2315] centrale PSI 2005 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2xt^2)\over t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est bien défini.

2. Continuité et dérivabilité de \(f\).

3. Étudier le comportement de \(f\) en \(+\infty\).

[examen/ex4243] imt PSI 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire la limite de \(x\mapsto\displaystyle\frac{F(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.

[planches/ex0689] polytechnique MP 2013 Pour \(\lambda>0\), on définit, sous réserve d’existence, \[I(\lambda)=\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)^\lambda}.\] Déterminer la limite puis un équivalent de \(I(\lambda)\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

[planches/ex6812] mines MP 2021 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_{-a}^a{\sqrt{1+x^2}\over\sqrt{a^2-x^2}}\,dx\). Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\).