[examen/ex4247] imt PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^{tx}+e^{-t}}\).
[examen/ex4247]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).
Donner des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).
[planches/ex7789] polytechnique MP 2022 On pose \(g:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over\pi(1+x^2)}\). Pour \(y\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(g_y:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over y}g(x/y)\).
[planches/ex7789]
Soit \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{C}\) continue, nulle en dehors d’un segment.
Montrer que, pour tout réel \(x\), la fonction \(y\longmapsto\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt\) tend vers \(f(x)\) en \(0^+\).
Montrer plus précisément que, pour tout réel \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta>0\) tel que \(\left|\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt-f(x)\right|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(x\in\mathbf{R}\) et tout \(y\in\left]0,\delta\right]\).
[examen/ex4351] centrale PC 2025 (avec Python)
[examen/ex4351]
Python
Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(f\) est bien définie.
Montrer que \(f\) est continue.
Montrer que \(f\) a pour limite 0 en \(+\infty\).
Une fonction calculant \(f\) est fournie dans Python. Afficher le graphe de \(f\) sur \([0,1;10]\). Conjecturer la monotonie et la limite de \(f\) en 0. Afficher le graphe sur \([10,100]\) de \(xf(x)\) et de \((x+1)f(x)\). Conjecturer un encadrement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). Tracer \(x\mapsto\displaystyle\frac{f(x)}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\) et conjecturer un équivalent en 0.
Démontrer la monotonie et la limite en 0 conjecturées à la question précédente.
Montrer l’équivalent en \(+\infty\).
[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).
[planches/ex0723]
[oraux/ex2406] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{e^{-t^2}\over t}\,dt\).
[oraux/ex2406]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle dérivable ?
Montrer que \(e^{x^2}f(x)\) est bornée sur \(\left[1,+\infty\right[\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\).
L’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est-elle convergente ?
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