Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2260] mines PSI 2017 On définit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t}\).

1. Donner le domaine de définition de \(f\).

2. Prouver le caractère \(\mathscr{C}^1\) de \(f\).

3. Établir l’existence et la valeur de la limite de \(f\) en \(+\infty\).

4. Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[planches/ex3286] polytechnique MP 2018 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(xf'(x)-f(x)\rightarrow\alpha\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

1. Pour \(m>0\), trouver la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle{f(mx)\over f(x)}\).

2. Pour tout \(t>0\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\) converge.

3. On suppose dans cette question \(\alpha>-1\). Montrer qu’il existe \(C>0\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow0^+}}{C\over t}f(1/t)\).

[planches/ex5294] mines PC 2019 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_+^*)\). On pose \(F:a\in\mathbf{R}_+\longmapsto\displaystyle\int_0^1f(t)^a\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est dérivable. Calculer \(F'(0)\).

2. Déterminer la limite de \(a\longmapsto(F(a))^{1/a}\) lorsque \(a\rightarrow0^+\).

[oraux/ex2385] centrale MP 2008

1. Pour quelles valeurs du réel \(x\) l’intégrale \(f(x)=\displaystyle\int_0^x{dt\over t+e^{xt}}\) existe-t-elle ?

2. Donner la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis un équivalent simple.

3. Quelle est la limite de \(f\) en 0 ?

[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).

1. Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?

2. \(f\) est-elle continue ?

3. Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).