Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5768] imt PC 2019 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), la limite de \(\displaystyle{f(x)\over x}\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Donner l’allure de la courbe représentative de \(f\).

[planches/ex3948] centrale PSI 2018 Soit \(f:\left]0,1\right]\rightarrow\mathbf{R}\) continue, telle que \(f(t)\sim\lambda t^\alpha\) au voisinage de 0 avec \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). On pose \(g:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^xf(t)\over\sqrt{1-t}}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(g\).

2. Montrer que \(g\) est continue.

3. Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).

4. Sans utiliser le théorème de convergence dominée, déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).

[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)

Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

1. Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).

2. Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).

3. Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.

4. Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).

5. Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).

[oraux/ex5376] mines MP 2012 Équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), de \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^\pi x^t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\,dt\).

[concours/ex1898] ens MP 1999 Équivalent en \(+\infty\) de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\displaystyle{te\over x}\right)^{\!x}\,dx\) ?