Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5768] imt PC 2019 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), la limite de \(\displaystyle{f(x)\over x}\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Donner l’allure de la courbe représentative de \(f\).

[planches/ex1907] polytechnique, espci PC 2017 Soit : \[I:\alpha\in\mathbf{R}_+\longmapsto\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)(1+x^\alpha)}.\]

1. Justifier la définition de \(I\). Calculer \(I(0)\).

2. Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\rightarrow+\infty\).

3. Calculer \(I(\alpha)\) pour \(\alpha\in\mathbf{R}_+\).

[planches/ex0846] mines MP 2016 On note, sous réserve d’existence, pour \(x\in\mathbf{R}\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)+x}\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et déterminer sa limite en \(+\infty\).

3. Montrer que pour \(x\in\left]1,+\infty\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{2\,du\over1+2ux+u^2}\). Calculer \(f(1)\).

[planches/ex2128] mines MP 2017 On pose \(I(s)=\displaystyle\int_s^1{dt\over\sqrt{t(t-s)}}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). La fonction \(I\) est elle continue ? de classe \(\mathscr{C}^1\) ? Donner un équivalent de \(I(s)\) quand \(s\) tend vers 1.

[planches/ex0903] imt MP 2016 Pour \(x>0\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie et continue.

2. On pose \(G(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt-{1\over x}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\). Montrer que \(G(x)=O(1/x^2)\) quand \(x\rightarrow+\infty\). En déduire un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

3. Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\).