Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1838] mines MP 1999 Étudier la fonction \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\). Préciser le comportement de \(f\) aux bornes de son domaine de définition.

[examen/ex0556] centrale PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(xt)}{t^2}e^{-t}\,\mathrm{d}t\). Préciser le domaine de définition de \(f\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).

[oraux/ex2367] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). Étudier \(f\) aux bornes.

[examen/ex0285] mines PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t^2}\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue, de classe \(\mathscr{C}^1\), de classe \(\mathscr{C}^{\infty}\) ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Étudier la régularité de \(f\).

3. Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.

4. Représenter le graphe de \(f\).