Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1376] polytechnique MP 2024 Déterminer un équivalent en \(1^-\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}\mathrm{d} t\).

[oraux/ex2402] polytechnique MP 2009

1. Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite réelle avec \(a_n=o(1/n)\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Montrer que : \(f(x)=o(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x))\) quand \(x\rightarrow1^-\).

2. Soit \(\mu\in\left]0,1\right[\). On pose \(I_\mu=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-\mu^2t^2)}}\). Donner un équivalent de \(I_\mu\) lorsque \(\mu\) tend vers \(1^-\).

[examen/ex0494] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\in\left]1,+\infty\right[\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est bien définie et monotone.

2. Montrer que \(F\) est continue.

3. Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

4. Trouver la limite de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow1^+\).

[concours/ex1838] mines MP 1999 Étudier la fonction \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\). Préciser le comportement de \(f\) aux bornes de son domaine de définition.

[planches/ex0905] imt PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}_+\).

2. Calculer \(f(0)\).

   Indication : On pourra poser \(u=1/t\).

3. Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).