Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0717] centrale PSI 2013 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Calculer \(f(1)\), \(f(2)\).

2. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).

3. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) de polynômes telle que : \[\forall x\in D,\quad f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}.\]

4. Étudier la monotonie de \(f\) et ses limites aux bornes de \(D\).

5. Tracer le graphe de \(f\).

6. Montrer qu’il existe \(A\in\mathbf{R}^*\), \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \(f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{A\over x^\alpha}\).

[planches/ex2637] centrale PC 2017 (avec Python)

On pose \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Tracer le graphe de \(f\).

2. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)\) de polynômes telle que \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}\).

3. Étudier la monotonie de \(f\). Déterminer les limites aux bornes.

[planches/ex0785] polytechnique, espci PC 2015 Soit \[f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt.\] Montrer que \(f\) est bien définie. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[concours/ex1095] polytechnique MP 1998 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{x+1}}\). Définition, continuité, dérivabilité, limites en \(0\) et \(+\infty\), équivalent en \(0\) ?

[fct.reelles/ex4719] On pose \(F(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer l’ensemble de définition et étudier les variations de la fonction \(F\).

2. Calculer \(F(x)+F(x+1)\).

3. En déduire un équivalent de \(F\) au voisinage de 0, puis de \(+\infty\).