Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex2160] mines PC 2024 Pour tout \(x>0\), on pose \(\displaystyle f(x)=\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,\mathrm{d}t\).

1. La fonction \(f\) est-elle bien définie ?

2. Écrire \(f\) comme la somme d’une série.

3. Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 0.

[oraux/ex2250] mines 2003

1. Existence, pour \(x>0\), de : \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t^{x+1}}\,dt\).

2. On pose \(\gamma=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\right)\) et \(\zeta(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^x}\) pour \(x>1\).

   Calculer \(I(1)\) et \(I(x)\) pour \(x>1\) à l’aide de \(\gamma\) et de \(\zeta(x)\).

3. Continuité de \(I\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) ?

4. Montrer que, lorsque \(x\) tend vers 1, \(\zeta(x)=\displaystyle{1\over x-1}+\gamma+o(1)\).

[planches/ex2637] centrale PC 2017 (avec Python)

On pose \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Tracer le graphe de \(f\).

2. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)\) de polynômes telle que \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}\).

3. Étudier la monotonie de \(f\). Déterminer les limites aux bornes.

[oraux/ex2260] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Justifier la définition de \(f\).

2. Développer \(f\) en série de fonctions. Indiquer le domaine de définition de la somme de la dite série.

3. Étudier les limites en 0 et en \(+\infty\) de \(f\).

[planches/ex0717] centrale PSI 2013 (avec Maple)

Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).

1. Calculer \(f(1)\), \(f(2)\).

2. Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).

3. Montrer qu’il existe une suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) de polynômes telle que : \[\forall x\in D,\quad f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}.\]

4. Étudier la monotonie de \(f\) et ses limites aux bornes de \(D\).

5. Tracer le graphe de \(f\).

6. Montrer qu’il existe \(A\in\mathbf{R}^*\), \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \(f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{A\over x^\alpha}\).