Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex1509] centrale PC 1998

1. Étudier l’intégrabilité sur \(\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) de \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\).

   On pose, si possible, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt\) puis \(g(x)=xf(x)f(x-1)\).

2. Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(x+2)\).

3. Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique.

4. Étudier la monotonie de \(x\mapsto\displaystyle{g(x)\over x+1}\).

5. Calculer \(g(n)\) pour \(n\) entier.

6. Montrer que \(g\) admet \(\displaystyle{\pi\over2}\) comme limite en \(+\infty\).

7. Que dire de \(g\) ?

[examen/ex0699] imt MP 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).

2. Montrer que \(F(n+2)=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}F(n)\). Calculer \((n+1)F(n)F(n+1)\).

3. Donner un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex3293] ens lyon M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, de la fonction définie par \(\displaystyle\sum\limits_0^\infty e^{-n^2x}\).

[examen/ex1782] mines MP 2024 Soit \(f\) définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue et décroissante.

3. Pour tout \(x\in D_f\), on pose \(g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)\).

   Montrer que : \(\forall x\in D_f\), \(g(x+1)=g(x)\).

4. Déterminer des équivalents simples de \(f\) aux extrémités de \(D_f\).

[oraux/ex2334] mines MP 2006

1. Pour quels \(x\) de \(\mathbf{R}\) l’intégrale : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\) existe-t-elle ? Dans ce cas, soit \(f(x)\) sa valeur.

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son intervalle de définition.

3. Que dire de \(x\mapsto(x+1)f(x)f(x+1)\) ?