Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

3. Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.

4. Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).

[planches/ex0852] mines PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Trouver le domaine de définition \(D\) de \(f\) et sa classe de dérivabilité.

2. Trouver des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).

[examen/ex3810] mines PC 2025 On pose \(J:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^x(t)}\).

1. Domaine de définition de \(J\) ?

2. Étudier la continuité de \(J\).

3. Calcul de \(J(1)\) et \(J(2)\).

4. Déterminer une relation entre \(J(x+2)\) et \(J(x)\).

5. Expliciter \(J(2p)\) et \(J(2p+1)\) pour \(p\in\mathbf{N}^*\).

6. A-t-on \(J(x)\mathrel{\mathop{\thicksim}\limits_{x\to+\infty}}J(x+1)\) ?

7. Donner un équivalent de \(J\) en \(+\infty\).

[ev.normes/ex0151] En utilisant la méthode de Laplace, donner un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), des expressions \[g(x)=\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\quad\hbox{et}\quad h(x)=\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\,.\]

[planches/ex8802] centrale PC 2022 Soit \(f\) la fonction donnée par \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier ses variations.

3. Trouver une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).

4. Pour \(x>0\), on pose \(\varphi(x)=xf(x)f(x-1)\). Montrer que, pour \(x>0\), \(\varphi(x+1)=\varphi(x)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(-1\).