Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex2385] centrale MP 2008

1. Pour quelles valeurs du réel \(x\) l’intégrale \(f(x)=\displaystyle\int_0^x{dt\over t+e^{xt}}\) existe-t-elle ?

2. Donner la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis un équivalent simple.

3. Quelle est la limite de \(f\) en 0 ?

[planches/ex7631] ens lyon MP 2022

1. Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\varepsilon\longmapsto\displaystyle\int_{-x}^{-\varepsilon}{e^{-x-t}\over t}\,dt+\int_\varepsilon^{+\infty}{e^{-x-t}\over t}\,dt\) possède une limite finie en \(0^+\), que l’on notera \(I(x)\).

2. Déterminer un équivalent de \(I\) en \(0^+\).

[planches/ex6812] mines MP 2021 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_{-a}^a{\sqrt{1+x^2}\over\sqrt{a^2-x^2}}\,dx\). Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\).

[planches/ex1908] polytechnique, espci PC 2017 Soit \[F:a\in\mathbf{R}_+^*\longmapsto\int_{-a}^a{dx\over\sqrt{(1+x^2)(a^2-x^2)}}.\]

1. Montrer que \(F\) est bien définie.

2. Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\).

3. Déterminer la limite \(\ell\) de \(F\) en \(0^+\), puis un équivalent de \(F-\ell\).

[planches/ex0689] polytechnique MP 2013 Pour \(\lambda>0\), on définit, sous réserve d’existence, \[I(\lambda)=\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)^\lambda}.\] Déterminer la limite puis un équivalent de \(I(\lambda)\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).

[oraux/ex2371] mines PC 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)x^t\over(1-x^2)^{1/3}}\,dx\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\), les limites de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\) et quand \(t\rightarrow1^+\). Donner un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[concours/ex3066] polytechnique M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(a\) tend vers \(0^+\), de : \[I_a=\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^4)(t^2+a^2)}.\]

[planches/ex0741] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Trouver un équivalent, lorsque \(t\rightarrow+\infty\), de : \[I(t)=\int_\mathbf{R}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x^2)e^{-t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x)^2}\,dx.\]

[planches/ex0902] imt MP 2016 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).

1. Étudier l’existence et la continuité de \(F\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Déterminer la limite éventuelle de \(xF(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex0693] mines MP 2013 Pour \(x\) dans \(\mathbf{R}^*\), on pose : \[I(x)=\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^2(xt)}\,dt.\]

1. Existence de \(I(x)\) ?

2. Donner la limite puis un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).

1. Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?

2. \(f\) est-elle continue ?

3. Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).

[examen/ex4243] imt PSI 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire la limite de \(x\mapsto\displaystyle\frac{F(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.

[planches/ex5294] mines PC 2019 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_+^*)\). On pose \(F:a\in\mathbf{R}_+\longmapsto\displaystyle\int_0^1f(t)^a\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est dérivable. Calculer \(F'(0)\).

2. Déterminer la limite de \(a\longmapsto(F(a))^{1/a}\) lorsque \(a\rightarrow0^+\).

[concours/ex3661] mines M 1992 On pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1\sqrt{x^2+2xt+t^3}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et sur un voisinage de \(-\infty\).

2. Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\). \(F\,'\) a-t-elle une limite en \(0\) ?

3. Montrer que le graphe de \(F\) admet une asymptote en \(+\infty\), la déterminer.

4. Montrer que le domaine de définition de \(F\) est \(\left]-\infty,\xi\right]\cup\left[0,+\infty\right[\), le réel \(\xi\) étant à déterminer.

[planches/ex0848] mines MP 2016 Étudier \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(tx)\over t\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)}\,dt\) : domaine de définition (\(x\in\mathbf{R}\)), caractère \(\mathscr{C}^\infty\), équivalents aux bornes.

[oraux/ex2347] centrale MP 2006 On note \(I\) l’ensemble des réels \(x\) tels que l’application \(t\mapsto t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\) est intégrable sur \(\left]0,\pi/2\right]\). On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\) pour tout \(x\in I\).

1. Déterminer \(I\).

2. Montrer que \(f\) est de classe \(C^\infty\).

3. Étudier les variations de \(f\) : monotonie, limites aux bornes.

4. Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’un logiciel de calcul formel.

[planches/ex5108] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)(1+t^x)}\).

1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(0)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\).

2. Soit \(x\in\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(x)\).

[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)

Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]

1. Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).

2. Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).

3. Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.

4. Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).

5. Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).

[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).