Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2984] tpe, int, iie M 1994 Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow0}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a+\left(\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+a}\,dt\right)\!\right)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,dt\).

[examen/ex3897] centrale MP 2025 Soit \(f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t+x}\,\mathrm{d}t\).

1. Rappeler le théorème de convergence dominée.

2. Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\).

3. Trouver la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

4. Soit \(n \in \mathbb{N}\).

   Montrer l’existence de \(a_0\), … , \(a_n\in\mathbf{Z}\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop{=}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\frac{a_k}{x^k}+o\left(\frac{1}{x^n}\right)\).

[oraux/ex2467] mines PSI 2010 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over1+tx}\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur \(D\). Déterminer ses variations, \(f(0)\) et la limite de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex7490] escp B/L 2022 Soit \(F\) donnée par : \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^1 \displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}\,dt\)

1. 1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\).

   2. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes de \(D\).

   3. Montrer que \(F\) est décroissante sur \(D\).

   On admet que \(F\) est continue sur \(D\).

2. 1. Montrer que \(F\) vérifie : \(\forall x\in D ~~~F(x)+F(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\to 0} xF(x)=1\).

   3. Représenter graphiquement la fonction \(F\).

3. 1. Soit \(x\in D\) fixé. Montrer que pour tout \(t\in [0,1]\) on a : \(\displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k t^{x+k-1} + R_{n}(t)\) où \(R_n\) est une fonction à préciser.

   2. En déduire l’expression de \(F\) sous forme de série.

4. Retrouver cette expression à l’aide de la question 2.

[planches/ex0725] ccp PSI 2013

1. Soit \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^{x-1}\over t+1}\,dt\).

   1. Déterminer le domaine de définition de \(\varphi\).

   2. Montrer que \(\varphi\) est l’unique fonction vérifiant \(\varphi(x+1)+\varphi(x)=\displaystyle{1\over x}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0\).

2. Soit \(S=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\).

   1. Justifier l’existence de \(S\).

   2. Calculer \(\varphi(1/2)\).

   3. En calculant \(\varphi(n+1/2)\), déterminer \(S\).

[oraux/ex2304] mines MP 2005 Soit \(\Omega=\{z\in\mathbf{C},\ \mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z>-1\}\). Si \(z\in\Omega\), soit \(f(z)=\displaystyle\int_0^1{t^z\over1+t}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\Omega\).

2. Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(-1\).

3. Donner un équivalent de \(f(z)\) quand \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z\rightarrow+\infty\).

[planches/ex0821] centrale PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(t))\,dt\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité, la dérivabilité.

2. La fonction \(f\) est-elle monotone ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

4. Calculer \(f'(x)\).

[planches/ex0909] PC 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta)\,d\theta\).

1. Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)+\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1/x)=\pi/2\).

2. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer son sens de variations.

3. Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\pi^2/4\). En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[oraux/ex2323] ccp PSI 2005 On pose, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f(x)\).

3. La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\mathbf{R}\) ?

[examen/ex0099] mines PSI 2023

1. Soit \(x>0\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x/t)}{t^2+1}\,\mathrm{d}t=\int_0^x\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)}{t^2-1}\,\mathrm{d}t\).

2. En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)}{t^2-1}\,\mathrm{d}t\).

[planches/ex7271] centrale PC 2021 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).

1. Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).

2. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).

4. Trouver la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[examen/ex3421] mines MP 2025 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Soient \(N_f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\left(\displaystyle\int_0^1f(t)^x\,\mathrm{d}t\right)^{\!1/x}\).

1. Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Déterminer la limite de \(N_f\) en \(+\infty\).

3. Déterminer la limite de \(N_f\) en \(0^+\).

[examen/ex2162] mines PC 2024 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Pour \(x>0\), on pose \(N_f(x)=\displaystyle\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t\right)^{1/x}\).

1. Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).

3. Déterminer la limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t-1\right)\) lorsque \(x\rightarrow 0^+\).

4. Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to 0\).

[examen/ex4005] centrale PC 2025 Pour \(x\in\mathbf{R}^+\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{t^2}\,e^{-xt}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(f\) est définie, continue sur \(\left[0,+\infty\right[\), de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).

2. Convergence et calcul de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}{t}\,\mathrm{d}t\).

[oraux/ex2481] centrale PSI 2010 (avec Maple)

Soit \(F:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(xt)\over t^2}e^{-t}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbf{R}\).

2. En déduire une expression de \(F(x)\).

3. Montrer que \(F(x)/x\rightarrow\pi/2\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

[planches/ex5117] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over t^x(t+1)}\,dt\).

1. Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\) puis montrer que \(f\) est continue sur \(D\).

2. Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(1-x)\) pour \(x\in D\).

3. Déterminer les limites et des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).

[planches/ex0852] mines PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Trouver le domaine de définition \(D\) de \(f\) et sa classe de dérivabilité.

2. Trouver des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).

[examen/ex3796] mines PC 2025 Soit \(\displaystyle f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(t+1)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.

3. Montrer que la droite d’équation \(x=\displaystyle\frac 12\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\).

4. Montrer que \(f\) est minorée par une valeur que l’on explicitera.

5. Déterminer un équivalent de \(f\) en 0.

[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).

2. Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).

3. Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).

4. Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).

[examen/ex0294] mines PC 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{t^x(1+t)}\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(F\).

2. Déterminer le domaine de dérivabilité de \(F\).

3. Déterminer les limites de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).

4. Déterminer un équivalent de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).