Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex5754] centrale PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t\, e^{-t}}{t+x}\,dt.\)

1. Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\), dérivable sur \(\mathbf{R}^{+*}\).

2. Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en 0.

3. Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,dt\).

4. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(0\leqslant 1-x\, f(x)\leqslant 2/x\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).

[oraux/ex4910] ens lyon MP 2012 Soient \(E:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto \displaystyle\int_x ^{+\infty}\frac{e^{-y}}{y}\,dy\) et \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^x \frac{1-e^{-y}}{y} \,dy\).

1. Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(E(x) -F(x)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x +\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-y}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits y \,dy\).

2. Soit \(s>0\). Montrer qu’il existe un unique réel \(>0\) que l’on notera \(x(s)\) tel que \(E\left(x(s)\right)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1-e^{-s})\).

3. Donner un développement limité à deux termes de \(x(s)\) quand \(s\rightarrow 0^+\).

[concours/ex3066] polytechnique M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(a\) tend vers \(0^+\), de : \[I_a=\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^4)(t^2+a^2)}.\]

[examen/ex4351] centrale PC 2025 (avec Python)

Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\).

1. Montrer que \(f\) est bien définie.

2. Montrer que \(f\) est continue.

3. Montrer que \(f\) a pour limite 0 en \(+\infty\).

4. Une fonction calculant \(f\) est fournie dans Python. Afficher le graphe de \(f\) sur \([0,1;10]\). Conjecturer la monotonie et la limite de \(f\) en 0. Afficher le graphe sur \([10,100]\) de \(xf(x)\) et de \((x+1)f(x)\). Conjecturer un encadrement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). Tracer \(x\mapsto\displaystyle\frac{f(x)}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\) et conjecturer un équivalent en 0.

5. Démontrer la monotonie et la limite en 0 conjecturées à la question précédente.

6. Montrer l’équivalent en \(+\infty\).

[planches/ex3286] polytechnique MP 2018 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(xf'(x)-f(x)\rightarrow\alpha\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

1. Pour \(m>0\), trouver la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle{f(mx)\over f(x)}\).

2. Pour tout \(t>0\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\) converge.

3. On suppose dans cette question \(\alpha>-1\). Montrer qu’il existe \(C>0\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow0^+}}{C\over t}f(1/t)\).

[planches/ex0848] mines MP 2016 Étudier \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(tx)\over t\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)}\,dt\) : domaine de définition (\(x\in\mathbf{R}\)), caractère \(\mathscr{C}^\infty\), équivalents aux bornes.

[oraux/ex2385] centrale MP 2008

1. Pour quelles valeurs du réel \(x\) l’intégrale \(f(x)=\displaystyle\int_0^x{dt\over t+e^{xt}}\) existe-t-elle ?

2. Donner la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis un équivalent simple.

3. Quelle est la limite de \(f\) en 0 ?