[planches/ex5420] centrale PSI 2019 Pour \(x\in\mathbf{R}_+\), on note \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\sqrt x}e^{-t^2}\,dt\) et \(G(x)=\displaystyle\int_0^1{e^{-(t^2+1)x}\over t^2+1}\,dt\).
[planches/ex5420]
Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) existe.
Montrer que \(G\) existe et qu’elle est de classe \(\mathscr{C}^1\). Calculer \(G(0)\).
Montrer que pour \(x>0\), \(G'(x)=-2F(x)F'(x)\) et en déduire la valeur de \(I\).
[oraux/ex2456] polytechnique, ens cachan PSI 2010 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}_+\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^x{e^{-x^2(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(F_1(x)=-2x\displaystyle\int_0^1e^{-x^2(1+t^2)}\,dt\).
[oraux/ex2456]
Exprimer \(F_1\) en fonction de \(f\) et de \(f'\). En déduire que \(F_1\) est de classe \(C^\infty\).
Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(\displaystyle\int_0^uF_1(x)\,dx=F(u)-\pi/4\).
Montrer : \(\forall u\in\mathbf{R}_+\), \(F(u)+f(u)^2=K\) où \(K\) est une constante à déterminer.
Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\). En déduire la limite \(\ell\) de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0734] ccp PSI 2013
[planches/ex0734]
Montrer que \(I=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\) est convergente.
Soit \(F:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^1{e^{-x(1+t^2)}\over1+t^2}\,dt\) et \(G:x\in\mathbf{R}_+\mapsto\displaystyle\int_0^xe^{-t^2}\,dt\). Montrer que \(F+G^2\) est constante. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(F\). En déduire la valeur de \(I\).
[examen/ex4240] ccinp PSI 2025 Le but est de calculer l’intégrale \(A=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-u^2}\,\mathrm{d}u\).
[examen/ex4240]
On pose \(\psi:x\in\mathbf{R}^+\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(\psi\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\).
Montrer que \(\psi\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Calculer \(\psi(0)\) et déterminer la limite de \(\psi\) en \(+\infty\).
Montrer que, pour tout \(x>0\), \(\psi'(x)=-A\displaystyle\frac{e^{-x}}{\sqrt{x}}\).
Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\psi'(x)\,\mathrm{d}x=-2A^2\). En déduire la valeur de \(A\).
[planches/ex0781] polytechnique, ens cachan PSI 2015 Soient \[f:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^xe^{-t^2}\,dt\quad\hbox{et}\quad g:x\in\left[0,+\infty\right[\mapsto\int_0^1{e^{-(t^2+1)x^2}\over1+t^2}\,dt.\]
[planches/ex0781]
Calculer \(g(0)\) et montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}g(x)=0\).
Montrer que \(g\) est dérivable et calculer \(g'\) en fonction de \(f\) et \(f'\).
Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt\).
Soit \(\varphi\) une application de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) continue par morceaux et bornée. On pose pour tout \(n\in\mathbf{N}\) et pour tout \(x\in\mathbf{R}\), \(\varphi_n(x)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(y)e^{-n^2(x-y)^2}\,dy\). Montrer que \(\varphi_n\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\) et que la suite \((\varphi_n)_{n\in\mathbf{N}}\) converge simplement vers \(\varphi\).
[planches/ex0722] tpe MP 2013 Soit \(\Phi:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex0722]
Domaine de définition ? Limites aux bornes ?
Donner un équivalent en \(+\infty\).
[examen/ex1777] mines MP 2024 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{e}^{-2t}}{x+t}\mathrm{d}t\).
[examen/ex1777]
Domaine de définition de \(F\) ? de continuité ?
Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
[planches/ex8904] imt MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex8904]
Quel est l’ensemble de définition de \(f\) ?
Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{1\over x}+o\left({1\over x}\right)\).
[oraux/ex2689] mines PSI 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\).
[oraux/ex2689]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Calculer \(f-f'\).
Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex0789] mines PSI 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t^2x}\over1+t^2}\,dt\). On rappelle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,dt={\sqrt\pi\over2}\).
[planches/ex0789]
Donner le domaine de définition de \(f\).
Montrer que \(f\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Donner un équivalent simple de \(f'\) au voisinage de \(+\infty\).
En déduire un développement asymptotique de \(f\) à deux termes au voisinage de \(+\infty\).
[planches/ex0787] mines MP 2015 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex0787]
Donner le domaine de définition de \(F\) dans \(\mathbf{R}\), puis montrer que \(F\) est continue sur ce domaine. Étudier la monotonie de \(F\).
Trouver la limite de \(F\) en \(+\infty\) et donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
Trouver la limite de \(F\) en 0 et donner un équivalent de \(F\) en 0.
Étudier la convexité de \(F\).
[oraux/ex2467] mines PSI 2010 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over1+tx}\,dt\).
[oraux/ex2467]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(D\). Déterminer ses variations, \(f(0)\) et la limite de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[concours/ex2984] tpe, int, iie M 1994 Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{a\rightarrow0}\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a+\left(\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+a}\,dt\right)\!\right)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,dt\).
[concours/ex2984]
[planches/ex0893] centrale PC 2016 Soit \(f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). Donner les limites de \(f\) en \(+\infty\) puis en 0.
[planches/ex0893]
[examen/ex3798] mines PC 2025 On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x+t}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex3798]
Donner le domaine de définition et montrer que \(F\) est monotone.
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).
Limite et équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
Limite et équivalent de \(F\) en \(0\).
[planches/ex8104] mines MP 2022 Limite et équivalent simple en \(0^+\) de \(x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex8104]
[concours/ex2225] polytechnique M 1995 Développement asymptotique en \(+\infty\) de \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over x+t}\,dt\).
[concours/ex2225]
[concours/ex1516] centrale MP 1998 Domaine de définition de \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). \(f\) est-elle continue ? de classe \(C^1\) ? Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex1516]
[oraux/ex2373] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x^2}\,dt\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue ? Est-elle intégrable en 0 et en \(+\infty\) ?
[oraux/ex2373]
[examen/ex3897] centrale MP 2025 Soit \(f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t+x}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex3897]
Rappeler le théorème de convergence dominée.
Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbb{R}^{+*}\).
Trouver la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Soit \(n \in \mathbb{N}\).
Montrer l’existence de \(a_0\), … , \(a_n\in\mathbf{Z}\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop{=}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n\frac{a_k}{x^k}+o\left(\frac{1}{x^n}\right)\).
[planches/ex8807] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\).
[planches/ex8807]
Déterminer l’ensemble de définition \(D\) de \(f\).
La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?
Étudier les variations de \(f\) sur \(D\).
Déterminer un équivalent de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
[oraux/ex2685] mines MP 2011 Soit \(F:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\over t+x}\,dt\). Limites et équivalents de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\) ?
[oraux/ex2685]
[oraux/ex2307] mines PC 2005
[oraux/ex2307]
Domaine de définition de \(f\) telle que, pour tout \(x\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}\,dt\over x^2+t}\) ?
La fonction \(f\) est-elle continue ?
Montrer qu’en \(+\infty\) : \(f(x)\sim1/x^2\).
[planches/ex7490] escp B/L 2022 Soit \(F\) donnée par : \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^1 \displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}\,dt\)
[planches/ex7490]
Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\).
Déterminer les limites de \(F\) aux bornes de \(D\).
Montrer que \(F\) est décroissante sur \(D\).
On admet que \(F\) est continue sur \(D\).
Montrer que \(F\) vérifie : \(\forall x\in D ~~~F(x)+F(x+1)=\displaystyle\frac{1}{x}\)
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\to 0} xF(x)=1\).
Représenter graphiquement la fonction \(F\).
Soit \(x\in D\) fixé. Montrer que pour tout \(t\in [0,1]\) on a : \(\displaystyle\frac{t^{x-1}}{t+1}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^n (-1)^k t^{x+k-1} + R_{n}(t)\) où \(R_n\) est une fonction à préciser.
En déduire l’expression de \(F\) sous forme de série.
Retrouver cette expression à l’aide de la question 2.
[planches/ex0725] ccp PSI 2013
[planches/ex0725]
Soit \(\varphi:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^{x-1}\over t+1}\,dt\).
Déterminer le domaine de définition de \(\varphi\).
Montrer que \(\varphi\) est l’unique fonction vérifiant \(\varphi(x+1)+\varphi(x)=\displaystyle{1\over x}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}\varphi(x)=0\).
Soit \(S=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 1}{(-1)^{n-1}\over2n-1}\).
Justifier l’existence de \(S\).
Calculer \(\varphi(1/2)\).
En calculant \(\varphi(n+1/2)\), déterminer \(S\).
[oraux/ex2304] mines MP 2005 Soit \(\Omega=\{z\in\mathbf{C},\ \mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z>-1\}\). Si \(z\in\Omega\), soit \(f(z)=\displaystyle\int_0^1{t^z\over1+t}\,dt\).
[oraux/ex2304]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\Omega\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(-1\).
Donner un équivalent de \(f(z)\) quand \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits z\rightarrow+\infty\).
[planches/ex0821] centrale PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits(t))\,dt\).
[planches/ex0821]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité, la dérivabilité.
La fonction \(f\) est-elle monotone ?
Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.
Calculer \(f'(x)\).
[planches/ex0909] PC 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits\theta)\,d\theta\).
[planches/ex0909]
Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x)+\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(1/x)=\pi/2\).
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et de classe \(\mathscr{C}^1\). Déterminer son sens de variations.
Montrer que, pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\pi^2/4\). En déduire la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0690] mines MP 2013
[planches/ex0690]
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x/t)\over1+t^2}\,dt=\int_0^x{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\over t^2-1}\,dt\).
En déduire la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\over t^2-1}\,dt\).
[oraux/ex2323] ccp PSI 2005 On pose, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).
[oraux/ex2323]
Montrer que \(f\) est continue sur \(\mathbf{R}\).
Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f(x)\).
La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\mathbf{R}\) ?
[planches/ex7271] centrale PC 2021 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(xt)\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex7271]
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}\).
Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Trouver la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[examen/ex2162] mines PC 2024 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Pour \(x>0\), on pose \(N_f(x)=\displaystyle\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t\right)^{1/x}\).
[examen/ex2162]
Montrer que \(N_f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).
Déterminer la limite de \(\displaystyle\frac{1}{x}\left(\int_0^1f(t)^x\,{\rm d}t-1\right)\) lorsque \(x\rightarrow 0^+\).
Déterminer la limite de \(N_f(x)\) lorsque \(x\to 0\).
[examen/ex3421] mines MP 2025 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbb{R}^{+*})\). Soient \(N_f:x\in\mathbb{R}^{+*}\mapsto\left(\displaystyle\int_0^1f(t)^x\,\mathrm{d}t\right)^{\!1/x}\).
[examen/ex3421]
Déterminer la limite de \(N_f\) en \(+\infty\).
Déterminer la limite de \(N_f\) en \(0^+\).
[oraux/ex2481] centrale PSI 2010 (avec Maple)
[oraux/ex2481]
Maple
Soit \(F:x\in\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(xt)\over t^2}e^{-t}\,dt\).
Montrer que \(F\) est de classe \(C^2\) sur \(\mathbf{R}\).
En déduire une expression de \(F(x)\).
Montrer que \(F(x)/x\rightarrow\pi/2\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[examen/ex4005] centrale PC 2025 Pour \(x\in\mathbf{R}^+\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{t^2}\,e^{-xt}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex4005]
Montrer que \(f\) est définie, continue sur \(\left[0,+\infty\right[\), de classe \(\mathscr{C}^2\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Convergence et calcul de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)}{t}\,\mathrm{d}t\).
[planches/ex5117] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over t^x(t+1)}\,dt\).
[planches/ex5117]
Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\) puis montrer que \(f\) est continue sur \(D\).
Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(1-x)\) pour \(x\in D\).
Déterminer les limites et des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).
[examen/ex3796] mines PC 2025 Soit \(\displaystyle f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(t+1)}\).
[examen/ex3796]
Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue sur son domaine de définition.
Montrer que la droite d’équation \(x=\displaystyle\frac 12\) est un axe de symétrie de la courbe représentative de \(f\).
Montrer que \(f\) est minorée par une valeur que l’on explicitera.
Déterminer un équivalent de \(f\) en 0.
[planches/ex0850] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on note, sous réserve d’existence, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0850]
Déterminer le domaine de définition \(I\) de \(f\).
Montrer que pour \(x\), \(y\in I\) tels que \(x<y\), \(f(y)-f(x)\) a le signe de \(x+y-1\).
Donner le tableau de variation de \(f\). Calculer le minimum de \(f\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) aux bornes de \(I\).
[examen/ex0294] mines PC 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{1}{t^x(1+t)}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0294]
Déterminer le domaine de définition de \(F\).
Déterminer le domaine de dérivabilité de \(F\).
Déterminer les limites de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).
Déterminer un équivalent de \(F\) aux bornes du domaine de définition de \(F\).
[planches/ex6819] mines MP 2021 On pose, pour \(x\in\left]0,1\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(t+1)}\). Montrer que \(f\) est bien définie. Trouver des équivalents simples de \(f\) au voisinage de 0 et de 1.
[planches/ex6819]
[examen/ex1965] mines PSI 2024 Soit \(f\) : \(\alpha\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha}(t+1)}\).
[examen/ex1965]
Montrer que \(f\) est continue sur \(D\).
Montrer que la courbe représentative de \(f\) admet la droite \(x=1/2\) pour axe de symétrie.
Justifier l’existence d’une borne inférieure pour \(f\) ; la déterminer.
Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0\).
[planches/ex0753] mines MP 2014 Pour \(x\in\left]0,1\right[\), on pose \[F(x)=\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}.\]
[planches/ex0753]
Montrer que \(F\) est bien définie, que \(F\) est continue.
Montrer : \(\forall x\in\left]0,1\right[\), \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{t^x+t^{1-x}\over t(1+t)}\). En déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{inf}}{\hbox{inf}}{\mathrm{inf}}{\mathrm{inf}}}\limits_{\left]0,1\right[}F\).
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0^+}F(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1^-}F(x)\).
Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(1^-\).
[examen/ex4246] ccinp PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).
[examen/ex4246]
Pour tout \(x\in D\), montrer que \(1-x\in D\) et que \(f(1-x)=f(x)\).
Soit \(h:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{t^{x-1}}{1+t}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(h\) est continue sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Pour tout \(x\in D\), prouver \(f(x)=h(1-x)+\displaystyle\frac{1}{x}-h(1+x)\).
Donner un équivalent de \(f\) en chaque borne de \(D\).
[planches/ex0852] mines PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0852]
Trouver le domaine de définition \(D\) de \(f\) et sa classe de dérivabilité.
Trouver des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).
[concours/ex5719] mines MP 2007 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).
[concours/ex5719]
Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son domaine de définition.
Quelle est la limite de \(f\) en \(0^+\) ?
Montrer que \(x=1/2\) est un axe de symétrie du graphe de \(f\).
[planches/ex8577] centrale MP 2022 (avec Python)
[planches/ex8577]
Python
Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t}\,dt\).
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).
Tracer le graphe de \(x\longmapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(\pi x)f(x)\) sur \(D\). Conjecture ?
Conjecturer la nature et la valeur de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+23x+x^2)\over x\sqrt x}\,dx\).
Montrer, pour \(x\in\left]0,1\right[\), que \(f(1-x)=f(x)\).
Pour quelles valeurs de \(k\in\mathbf{N}^*\) l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x)\over x^{1+1/k}}\,dx\) est-elle convergente ? Calculer cette intégrale.
Démontrer la conjecture de 2.
[planches/ex2125] mines MP 2017
[planches/ex2125]
Déterminer le domaine de définition de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^\infty\) et étudier les variations de \(f\).
Étudier \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.
[examen/ex3810] mines PC 2025 On pose \(J:x\mapsto\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^x(t)}\).
[examen/ex3810]
Domaine de définition de \(J\) ?
Étudier la continuité de \(J\).
Calcul de \(J(1)\) et \(J(2)\).
Déterminer une relation entre \(J(x+2)\) et \(J(x)\).
Expliciter \(J(2p)\) et \(J(2p+1)\) pour \(p\in\mathbf{N}^*\).
A-t-on \(J(x)\mathrel{\mathop{\thicksim}\limits_{x\to+\infty}}J(x+1)\) ?
Donner un équivalent de \(J\) en \(+\infty\).
[examen/ex0699] imt MP 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0699]
Montrer que \(F\) est de classe \(C^\infty\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).
Montrer que \(F(n+2)=\displaystyle\frac{n+1}{n+2}F(n)\). Calculer \((n+1)F(n)F(n+1)\).
Donner un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[examen/ex1782] mines MP 2024 Soit \(f\) définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex1782]
Montrer que \(f\) est continue et décroissante.
Pour tout \(x\in D_f\), on pose \(g(x)=(x+1)f(x+1)f(x)\).
Montrer que : \(\forall x\in D_f\), \(g(x+1)=g(x)\).
Déterminer des équivalents simples de \(f\) aux extrémités de \(D_f\).
[concours/ex1509] centrale PC 1998
[concours/ex1509]
Étudier l’intégrabilité sur \(\left]0,\displaystyle{\pi\over2}\right]\) de \(t\mapsto\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\).
On pose, si possible, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt\) puis \(g(x)=xf(x)f(x-1)\).
Trouver une relation entre \(f(x)\) et \(f(x+2)\).
Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique.
Étudier la monotonie de \(x\mapsto\displaystyle{g(x)\over x+1}\).
Calculer \(g(n)\) pour \(n\) entier.
Montrer que \(g\) admet \(\displaystyle{\pi\over2}\) comme limite en \(+\infty\).
Que dire de \(g\) ?
[concours/ex1899] ens PC 1999 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\). Montrer que \(g(x)=xf(x)f(x-1)\) est \(1\)-périodique. Montrer que \(f(x)\sim\sqrt{\pi/2x}\) en \(+\infty\). Montrer que \(g\) est continue.
[concours/ex1899]
[ev.normes/ex0151] En utilisant la méthode de Laplace, donner un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), des expressions \[g(x)=\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\quad\hbox{et}\quad h(x)=\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\,.\]
[ev.normes/ex0151]
[examen/ex0995] hec S 2024
[examen/ex0995]
Question de cours : énoncer les théorèmes de comparaison pour les intégrales généralisées.
Soit \(f\) la fonction donnée par : \[f(x)=\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^xt\,dt.\]
Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
Montrer que \(f\) est positive et préciser sa monotonie.
En déduire que \(f\) admet une limite à droite et à gauche en 0.
Montrer que l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\) est convergente et que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+\quad0\leqslant{\pi\over2}-f(x)\leqslant-x\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]
En déduire la limite de \(f\) à droite en 0.
Former une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).
On pose pour \(x>0\) : \[\varphi(x)=xf(x)f(x-1).\] Montrer que : \[\forall x>0\quad\varphi(x+1)=\varphi(x).\] Calculer \(\varphi(n)\) pour \(n\in\mathbf{N}^*\).
Déterminer un équivalent à \(f\) en \(-1^+\).
[concours/ex6016] centrale MP 2007 Pour \(x\) réel, on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).
[concours/ex6016]
Quel est le domaine de définition de \(F\) ?
Montrer que \(F\) est de classe \(C^\infty\).
Trouver une relation entre \(F(n)\) et \(F(n-2)\).
En déduire que \(nF(n)F(n-1)\) est constant.
Donner un équivalent de \(F\) en \(-1\).
[concours/ex3293] ens lyon M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs supérieures, de la fonction définie par \(\displaystyle\sum\limits_0^\infty e^{-n^2x}\).
[concours/ex3293]
[oraux/ex2334] mines MP 2006
[oraux/ex2334]
Pour quels \(x\) de \(\mathbf{R}\) l’intégrale : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\) existe-t-elle ? Dans ce cas, soit \(f(x)\) sa valeur.
Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur son intervalle de définition.
Que dire de \(x\mapsto(x+1)f(x)f(x+1)\) ?
[planches/ex2878] hec S 2018
[planches/ex2878]
Question de cours : égalité et inégalités des accroissements finis.
Justifier, pour tout \(x\leqslant 0\), l’inégalité : \(|e^x-1|\leqslant|x|\).
Justifier la convergence absolue de l’intégrale \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).
On note \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^x(t)\,dt\).
Déterminer le domaine de définition \(D_f\) de \(f\) et justifier que \(f\) est monotone.
Justifier, pour tout \(x\in D_f\), l’égalité : \[f(x)={x+2\over x+1}f(x+2).\]
Établir, pour tout \((x,y)\in{\mathbf{R}_+^*}^2\), l’inégalité : \[\left|\vphantom{|_|}f(x)-f(y)\right|\leqslant|x-y|\int_0^{\pi/2}|\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)|\,dt.\]
Démontrer que \(f\) est continue.
Trouver la limite et un équivalent simple de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1_+\).
Justifier, pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), l’inégalité : \[f(n)\leqslant{1\over\sqrt[3]n}+{\pi\over2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^n\left({1\over\sqrt[3]n}\right).\]
En déduire la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers l’infini.
[oraux/ex2728] PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)^x\,dt\).
[oraux/ex2728]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\left]-1,+\infty\right[\).
Calculer \(f(1)\). Montrer : \(\forall x>-1\), \((x+2)f(x+2)=(x+1)f(x)\). En déduire un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow-1^+\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]-1,+\infty\right[\).
Justifier : \(\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t)\,dt=\displaystyle{1\over2}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(2t)\over2}\right)\,dt\). En déduire \(f'(0)\).
[planches/ex8802] centrale PC 2022 Soit \(f\) la fonction donnée par \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^x\,dt\).
[planches/ex8802]
Déterminer le domaine de définition de \(f\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier ses variations.
Trouver une relation entre \(f(x+2)\) et \(f(x)\) pour tout \(x>-1\).
Pour \(x>0\), on pose \(\varphi(x)=xf(x)f(x-1)\). Montrer que, pour \(x>0\), \(\varphi(x+1)=\varphi(x)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(-1\).
[examen/ex2160] mines PC 2024 Pour tout \(x>0\), on pose \(\displaystyle f(x)=\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex2160]
La fonction \(f\) est-elle bien définie ?
Écrire \(f\) comme la somme d’une série.
Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 0.
[planches/ex0717] centrale PSI 2013 (avec Maple)
[planches/ex0717]
Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
Calculer \(f(1)\), \(f(2)\).
Montrer qu’il existe une suite \((P_n)_{n\in\mathbf{N}^*}\) de polynômes telle que : \[\forall x\in D,\quad f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}.\]
Étudier la monotonie de \(f\) et ses limites aux bornes de \(D\).
Tracer le graphe de \(f\).
Montrer qu’il existe \(A\in\mathbf{R}^*\), \(\alpha\in\mathbf{R}\) tel que \(f(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{A\over x^\alpha}\).
[planches/ex6915] mines PSI 2021 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
[planches/ex6915]
Montrer que \(f\) est correctement définie.
Exprimer \(f(x)\) sous forme de la somme d’une série de fonctions.
Donner un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\). On admettra : \(\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^2}={\pi^2\over6}\).
[examen/ex0296] mines PC 2023 Soit \(\alpha>0\). On définit \(I(\alpha)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left(1-t^\alpha\right)\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0296]
Déterminer le domaine de convergence de \(I(\alpha)\).
Écrire \(I(\alpha)\) comme la somme d’une série.
Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers 0.
Déterminer la limite et un équivalent de \(I(\alpha)\) quand \(\alpha\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex2250] mines 2003
[oraux/ex2250]
Existence, pour \(x>0\), de : \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t^{x+1}}\,dt\).
On pose \(\gamma=\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{n\rightarrow+\infty}\left(\displaystyle\sum\limits_{k=1}^n{1\over k}-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits n\right)\) et \(\zeta(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over n^x}\) pour \(x>1\).
Calculer \(I(1)\) et \(I(x)\) pour \(x>1\) à l’aide de \(\gamma\) et de \(\zeta(x)\).
Continuité de \(I\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) ?
Montrer que, lorsque \(x\) tend vers 1, \(\zeta(x)=\displaystyle{1\over x-1}+\gamma+o(1)\).
[oraux/ex2260] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
[oraux/ex2260]
Justifier la définition de \(f\).
Développer \(f\) en série de fonctions. Indiquer le domaine de définition de la somme de la dite série.
Étudier les limites en 0 et en \(+\infty\) de \(f\).
[planches/ex2637] centrale PC 2017 (avec Python)
[planches/ex2637]
On pose \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(t)\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t^x)\,dt\).
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Tracer le graphe de \(f\).
Montrer qu’il existe une suite \((P_n)\) de polynômes telle que \(f(x)=\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{+\infty}{1\over P_n(x)}\).
Étudier la monotonie de \(f\). Déterminer les limites aux bornes.
[fct.reelles/ex4719] On pose \(F(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[fct.reelles/ex4719]
Déterminer l’ensemble de définition et étudier les variations de la fonction \(F\).
Calculer \(F(x)+F(x+1)\).
En déduire un équivalent de \(F\) au voisinage de 0, puis de \(+\infty\).
[concours/ex2906] centrale M 1994 Soit, pour \(x\) réel, \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t+t^{1+x}}\). Étudier l’ensemble de définition et la continuité de \(f\). Trouver un équivalent de \(f\) en \(0\) et étudier sa limite en \(+\infty\).
[concours/ex2906]
[planches/ex2392] mines PC 2017 On pose, lorsque l’intégrale est définie, \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt\).
[planches/ex2392]
Donner le domaine de définition de \(f\), étudier sa continuité et sa monotonie.
Calculer \(f(x)+f(x+1)\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0752] mines MP 2014 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex0752]
Déterminer le domaine de définition de \(F\). Étudier la continuité, le caractère \(\mathscr{C}^1\), les variations de \(F\) sur son domaine de définition.
Donner un équivalent de \(F\) aux bornes de ce domaine.
[oraux/ex2265] polytechnique 2004 Soit, pour \(x>0\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{1\over 1+t+t^{x+1}}\,dt\).
[oraux/ex2265]
Déterminer la limite de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Déterminer un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
[examen/ex3794] mines PC 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^x(1+t)}\).
[examen/ex3794]
Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Montrer que \(F\) est continue et décroissante sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Déterminer un équivalent de \(F\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
Indication : Calculer \(F(x)+F(x+1)\).
[examen/ex0493] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{t^{x+1}+t+1}\).
[examen/ex0493]
Déterminer l’ensemble de définition de \(F\).
Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur son ensemble de définition. Donner une expression de la dérivée.
Montrer que \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3}{2x}\) et \(F(x)\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{x\rightarrow0^+}}\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits2}{x}\).
[planches/ex0785] polytechnique, espci PC 2015 Soit \[f:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_1^{+\infty}{t^{-x}\over1+t}\,dt.\] Montrer que \(f\) est bien définie. Déterminer les limites de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
[planches/ex0785]
[planches/ex8448] mines PC 2022 Pour tout \(x\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^x(1+t)}\).
[planches/ex8448]
Montrer que \(f\) est bien définie sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Limites de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.
Équivalents de \(f\) en \(+\infty\) et en 0.
[planches/ex2119] mines MP 2017 Pour \(x>0\), on pose : \[f(x)=\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]
[planches/ex2119]
Montrer que \(f\) est bien définie et continue sur \(\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).
Exprimer \(f\) sous forme de somme et montrer : \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=\displaystyle{1\over n}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits\left({n\,!\,e^n\over n^n}\right)\).
Trouver un équivalent de \(f(n)\) quand \(n\) tend vers \(+\infty\) puis de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\). La fonction \(f\) est-elle intégrable sur \(\left[1,+\infty\right[\) ?
[oraux/ex2299] mines MP 2005 Pour \(x\in\mathbf{R}_+^*\), soit : \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt\).
[oraux/ex2299]
Montrer que \(f\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).
[examen/ex0694] ccinp MP 2023 On pose \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(x+t)}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0694]
Montrer que \(G\) est bien définie pour \(x>0\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que \(\displaystyle\int_0^y\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t(n+t)}\,\mathrm{d}t=\frac{1}{n}\left(\int_0^n\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t-\int_y^{y+n}\frac{t-\lfloor t\rfloor}{t}\,\mathrm{d}t\right)\).
On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n+1)-H(n)-\displaystyle\frac{1}{2n}\) converge. En déduire un équivalent de \(G(n)\).
[planches/ex2579] centrale PSI 2017 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{1\over t^{x+1}+t+1}\,dt\).
[planches/ex2579]
Trouver le domaine de définition de \(F\).
Montrer que \(F\) est dérivable sur son domaine de définition et exprimer sa dérivée.
Montrer que \(F(x)\sim\displaystyle{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits3\over2x}\) au voisinage de \(+\infty\).
[planches/ex0724] ccp MP 2013 Pour \(x\), \(y>0\) on note \[G(x,y)=\int_0^y{t-\lfloor t\rfloor\over t(t+x)}\,dt.\]
[planches/ex0724]
Montrer que \(G\) est bien définie et que, à \(x>0\) fixé, \(G(x,y)\) admet une limite finie positive notée \(G(x)\) quand \(y\) tend vers \(+\infty\).
Montrer que, pour tout \(n>0\), \(G(n,y)=\displaystyle{1\over n}\left(\int_0^n{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt-\int_y^{y+n}{t-\lfloor t\rfloor\over t}\,dt\right)\).
On pose \(H(n)=nG(n)\). Montrer que la série de terme général \(H(n)-H(n-1)-\displaystyle{1\over2n}\) est convergente, et en déduire un équivalent de \(G(n)\).
[concours/ex0256] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{t-E(t)\over t(t+x)}\,dt\). Domaine de définition de \(f\) ? Limites et équivalents en \(0\) et en \(+\infty\).
[concours/ex0256]
[oraux/ex2252] centrale 2003 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^{x+1}+t+1}\).
[oraux/ex2252]
Définition de \(f\). Continuité et monotonie de \(f\).
Équivalents de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).
[oraux/ex2431] centrale PC 2009 (avec Maple)
[oraux/ex2431]
Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{arctan}}{\hbox{arctan}}{\mathrm{arctan}}{\mathrm{arctan}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{tan}}{\hbox{tan}}{\mathrm{tan}}{\mathrm{tan}}}\nolimits t)\,dt\).
Étudier \(f\) : domaine de définition, continuité, dérivabilité, variations, limites.
Montrer qu’il existe \(\alpha>0\) tel que : \(\forall x\in\mathbf{R}_+^*\), \(f(x)+f(1/x)=\alpha\).
Donner un développement asymptotique à deux termes de \(f\) au voisinage de 0.
[examen/ex2901] ens PC 2025 Pour \(a>0\), on pose \(f(a)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1+x^2}\sqrt{1+a^2x^2}}\).
[examen/ex2901]
Justifier la définition de \(f(a)\).
Montrer que \(f(a)\mathrel{\mathop{=}\limits_{a\to+\infty}}\mathrm{O}\left(\displaystyle\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits a}{a}\right)\).
[examen/ex3417] mines MP 2025 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1+t^2)(1+at^2)}}\). Donner un équivalent de \(F\) en \(+\infty\).
[examen/ex3417]
[concours/ex0253] mines MP 1996 Pour \(x>0\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\sqrt{(x^2+t^2)(1+t^2)}}\).
[concours/ex0253]
Étudier la définition et la continuité de \(f\).
Étudier la limite, puis un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).
[examen/ex1376] polytechnique MP 2024 Déterminer un équivalent en \(1^-\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac1{\sqrt{(1-t^2)(1-xt^2)}}\mathrm{d} t\).
[examen/ex1376]
[concours/ex0245] mines MP 1996 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-t^2x^2)}}\). Préciser le domaine de définition de \(f\) et étudier sa continuité. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(1^-\).
[concours/ex0245]
[oraux/ex2402] polytechnique MP 2009
[oraux/ex2402]
Soit \((a_n)_{n\geqslant 0}\) une suite réelle avec \(a_n=o(1/n)\) et \(f:x\mapsto\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}a_nx^n\). Montrer que : \(f(x)=o(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-x))\) quand \(x\rightarrow1^-\).
Soit \(\mu\in\left]0,1\right[\). On pose \(I_\mu=\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{(1-t^2)(1-\mu^2t^2)}}\). Donner un équivalent de \(I_\mu\) lorsque \(\mu\) tend vers \(1^-\).
[planches/ex8800] centrale PC 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+xt)\over t+t^3}\,dt\).
[planches/ex8800]
Déterminer le domaine \(D\) de définition de \(f\).
Étudier la continuité de \(f\) sur \(D\).
Déterminer les variations de \(f\) sur \(D\).
Déterminer un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers 0.
Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[examen/ex2269] centrale MP 2024
[examen/ex2269]
Rappeler la formule de Stirling.
Donner un équivalent de \(I_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(x)^{2n}\,\mathrm{d}x\) quand \(n\to+\infty\).
On pose \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{(1-t^2)(1-x^2t^2)}}\).
Ensemble de définition ?
Développer \(F\) en série entière au voisinage de \(0\).
Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers 1.
[examen/ex0494] centrale PSI 2023 Soit \(F:x\in\left]1,+\infty\right[\mapsto\displaystyle\int_0^1\frac{1}{\sqrt{(1-t^2)(x^2-t^2)}}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex0494]
Montrer que \(F\) est bien définie et monotone.
Montrer que \(F\) est continue.
Trouver un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Trouver la limite de \(F(x)\) quand \(x\rightarrow1^+\).
[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).
[examen/ex3896]
Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.
[concours/ex3658] mines M 1992 Étude de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\). Domaine de définition, dérivabilité, montrer que \[\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1}f'(x)=+\infty.\]
[concours/ex3658]
[oraux/ex2697] mines PC 2011 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\).
[oraux/ex2697]
Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\). La fonction \(f\) est-elle continue sur \(D\) ?
[planches/ex8458] mines PC 2022
[planches/ex8458]
Montrer que la fonction \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\) est continue sur \(\left[1,+\infty\right[\), et de classe \(\mathscr{C}^\infty\) sur \(\left]1,+\infty\right[\).
Montrer que le graphe de \(f\) possède une tangente verticale au point d’abscisse 1.
[oraux/ex2367] mines PC 2008 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over t^x\sqrt{1+t^2}}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\). Étudier \(f\) aux bornes.
[oraux/ex2367]
[examen/ex4242] saint-cyr PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex4242]
Déterminer l’ensemble de définition \(\mathscr{D}_f\) de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue puis de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathscr{D}_f\).
Conjecturer à l’aide de Python la valeur de \(f(2)\). Prouver cette conjecture.
Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur son domaine.
Calculer les limites de \(f\) en \(1^+\) et en \(+\infty\).
[examen/ex0285] mines PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t^2}\mathrm{d}t\).
[examen/ex0285]
La fonction \(f\) est-elle continue, de classe \(\mathscr{C}^1\), de classe \(\mathscr{C}^{\infty}\) ?
[concours/ex1838] mines MP 1999 Étudier la fonction \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\). Préciser le comportement de \(f\) aux bornes de son domaine de définition.
[concours/ex1838]
[planches/ex8451] mines PC 2022 On pose lorsque cela a un sens \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\).
[planches/ex8451]
Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\). Continuité. Limites aux bornes du domaine de définition.
On note \(\lambda\) la limite de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer un équivalent de \(\lambda-f(x)\) lorsque \(x\longrightarrow+\infty\).
[planches/ex0699] mines PSI 2013 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^{x-1}\over1+t^2}\,dt\).
[planches/ex0699]
Étudier la régularité de \(f\).
Étudier les limites aux bornes du domaine de définition.
Représenter le graphe de \(f\).
[planches/ex0905] imt PSI 2016 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^3+x^3}\).
[planches/ex0905]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}_+\).
Calculer \(f(0)\).
Indication : On pourra poser \(u=1/t\).
Déterminer la limite de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[examen/ex0556] centrale PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2(xt)}{t^2}e^{-t}\,\mathrm{d}t\). Préciser le domaine de définition de \(f\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0\) et en \(+\infty\).
[examen/ex0556]
[examen/ex3799] mines PC 2025 On pose \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^3+x^3}\).
[examen/ex3799]
Domaine de définition ?
[concours/ex0867] ens PC 1997 Équivalents en \(0\) et en \(+\infty\) de \(F(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2xt\over t^2(1+t^2)}\,dt\).
[concours/ex0867]
[planches/ex0793] mines PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^x{e^t\over t+x}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Étudier la limite de \(f\) en \(0^+\).
[planches/ex0793]
[concours/ex3211] mines M 1993 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\displaystyle\int^\varepsilon_{\varepsilon^2} {du\over\sqrt{(u+1)u(\varepsilon+\varepsilon^2-u)}}\).
[concours/ex3211]
[planches/ex0838] polytechnique, espci PC 2016 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1x^{tx}\,dx\). Donner un développement limité à l’ordre 2 de \(f\) en 0.
[planches/ex0838]
[concours/ex1525] centrale MP 1998 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).
[concours/ex1525]
Préciser l’ensemble de définition (réel) et étudier la continuité de \(f\).
Montrer que pour tout \(x\in\left]-2,+\infty\right[\), \(f(x)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\displaystyle{1\over n(n+x+1)^2}\). Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex2420] mines PC 2009 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_0^1{x^a\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\over x^2-1}\,dx\).
[oraux/ex2420]
Justifier l’existence de \(F\).
Donner un équivalent de \(F(a)\) quand \(a\rightarrow+\infty\).
[concours/ex2610] tpe, int, ivp M 1995 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{tx}\,dt\). Définition, continuité, limite en \(+\infty\).
[concours/ex2610]
[planches/ex2577] centrale PSI 2017 (avec Python)
[planches/ex2577]
On note \(L=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).
Montrer que cette intégrale est convergente.
Écrire une fonction donnant une valeur approchée de \(L\). Conjecturer la valeur exacte.
Calculer \(L\).
On note, pour \(x>0\), \(J(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{1\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
Montrer que \(J\) est continue sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(J(x)\). Donner les valeurs obtenues pour \(x\in\{1/2,1,3,10\}\).
On note, pour \(x>0\), \(K(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
Écrire une fonction prenant en argument un réel \(x\) et calculant une valeur approchée de \(K(x)\).
Avec Python, visualiser l’existence de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0}(J(x)-K(x))\) et conjecturer la valeur de cette limite.
Démontrer cette conjecture.
[oraux/ex5380] mines MP 2012 Soient \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac1{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\) et \(J:x\mapsto \displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}{\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2t+x^2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2t}}\,dt\).
[oraux/ex5380]
Déterminer la limite en 0 de \(I(x) -J(x)\).
Donner une développement asymptotique à l’ordre \(2\) de \(I(x)\) en \(0\).
[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).
[examen/ex2650]
Préciser le domaine de définition de \(f\).
Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).
En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).
Étudier la monotonie de \(f\).
Montrer que \(f\) est continue.
Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).
Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.
[concours/ex3769] centrale M 1992 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Domaine de définition, monotonie ? Calculer \[I_n=\int_1^{+\infty}{dt\over t^{n+1}\sqrt{t-1}}\] et montrer que \(f\) est développable en série entière.
[concours/ex3769]
Indication : on pourra écrire \[{1\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}=\sum\limits_{p=0}^{+\infty}u_p(t)x^p,\] et montrer la décroissance de la suite \((u_p(t))\).
[planches/ex7407] ccinp PC 2021
[planches/ex7407]
Montrer que \(\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{t-1}}\) existe.
On définit \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^n\sqrt{t-1}}\).
Pour quels entiers \(n\) cette intégrale est-elle définie ?
Montrer que la suite \((I_n)\) est positive et décroissante.
Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité de \(f\).
Pour \(u\in\left]-1,1\right[\), montrer que \((1-u)^{-1/2}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(2n)\,!\over4^n(n\,!)^2}u^n\).
Pour \(t>1\) et \(x\) assez proche de 0, montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{t(t-x)}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}{x^n\over t^{n+1}}\).
En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.
[oraux/ex2383] centrale MP 2008 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-t)\,dt\).
[oraux/ex2383]
Étudier la continuité de \(f\).
Donner un développement de \(f\) en série de fractions rationnelles.
Donner la limite, puis un équivalent, de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex5729] mines MP 2007 On pose, pour \(a>0\) : \[I(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}\hbox{ et }J(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}.\]
[concours/ex5729]
Justifier la définition de \(I(a)\) et \(J(a)\).
Donner un équivalent, lorsque \(a\rightarrow0^+\), de \(J(a)\) puis de \(I(a)\).
[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).
[concours/ex5737]
Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).
Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.
[planches/ex7412] ccinp PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)^x}\).
[planches/ex7412]
Vérifier que \(f\) est bien définie sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).
Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).
Indication : Intégrer par parties.
En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression de \(f(n)\) à l’aide de factorielles et de puissances de 2.
Soient \(x\) et \(y\) dans \(\left]1/2,+\infty\right[\) tels que \(x\leqslant y\). Comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).
Que dire de la nature de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,dt\) ?
Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\) et retrouver le résultat précédent.
[concours/ex1510] centrale PC 1998 On pose \(I(a)=\displaystyle\int_0^1{dt\over t^3+a^3}\).
[concours/ex1510]
Étudier la limite de \(I(a)\) lorsque \(a\) tend vers \(+\infty\).
Trouver un équivalent de \(I(a)\).
[concours/ex1177] polytechnique PC 1998 Soit \(\alpha>0\) et \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^\alpha t+x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^\alpha t\right)^{1/\alpha}}\).
[concours/ex1177]
Déterminer le domaine de définition de \(I(x)\).
Donner un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^+\).
[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?
[concours/ex3061]
On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).
[concours/ex3432] tpe, int, iie M 1993 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{t^x}\,dt\). Domaine de définition, continuité, tableau de variation, limites en \(-\infty\) et \(+\infty\).
[concours/ex3432]
[planches/ex1907] polytechnique, espci PC 2017 Soit : \[I:\alpha\in\mathbf{R}_+\longmapsto\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)(1+x^\alpha)}.\]
[planches/ex1907]
Justifier la définition de \(I\). Calculer \(I(0)\).
Déterminer la limite de \(I(\alpha)\) lorsque \(\alpha\rightarrow+\infty\).
Calculer \(I(\alpha)\) pour \(\alpha\in\mathbf{R}_+\).
[concours/ex3201] mines M 1993 Soient \(a\) un nombre réel et soit \(J(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^4x+a^4}}\,dx\).
[concours/ex3201]
Étudier la convergence de l’intégrale \(J(a)\) suivant les valeurs de \(a\).
Étudier la limite de \(J(a)\) en \(0\).
Donner un équivalent de \(J(a)\) en \(0\).
[oraux/ex2338] mines MP 2006 On pose, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle{1\over x}\int_0^{+\infty}{1-e^{-tx}\over1+t^2}\,dt\). Montrer que \(f\) est \(C^2\) sur \(\left]0,+\infty\right[\) et trouver des équivalents simples en 0 et en \(+\infty\).
[oraux/ex2338]
[planches/ex4978] mines MP 2019 Domaine de définition, continuité et équivalents aux bornes de \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t\sqrt{1+t^x}}\).
[planches/ex4978]
[planches/ex8096] mines MP 2022 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{xu\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(u)}\,du\).
[planches/ex8096]
Domaine de définition de \(f\) ?
Soit \(g\) une fonction continue par morceaux et bornée sur \(\mathbf{R}\), continue en 0. Montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}xg(u)e^{-xu}\,du\) tend vers \(g(0)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\). Que peut-on dire si \(g\) est supposée intégrable au lieu de bornée ?
Déterminer la limite de \(xf(x)\) quand \(x\longrightarrow+\infty\).
[planches/ex4168] imt PC 2018 Soit \(F:a\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(a\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,dt\).
[planches/ex4168]
Monter que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).
En déduire la limite, lorsque \(a\rightarrow0\), de \(\displaystyle{F(a)\over a}\).
[planches/ex0831] polytechnique MP 2016 Soit \[I:x\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over t+x}\,dt.\] Déterminer un équivalent de \(I(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\).
[planches/ex0831]
[planches/ex5647] imt PSI 2019 Soit \(F:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-xt^2}\over1+t}\,dt\).
[planches/ex5647]
Montrer que pour tout \(x>0\), l’intégrale \(F(x)\) est convergente.
Étudier les variations de la fonction \(F\).
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\left]0,+\infty\right[\).
Montrer que, pour tout \(x>0\), \(F(x)\geqslant\displaystyle{1\over e}\int_0^{1/\sqrt x}{dt\over1+t}\). En déduire la limite de \(F\) en 0.
[planches/ex5768] imt PC 2019 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,dt\).
[planches/ex5768]
Montrer que \(f\) est définie et de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).
Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), la limite de \(\displaystyle{f(x)\over x}\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Donner l’allure de la courbe représentative de \(f\).
[oraux/ex5374] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto \displaystyle\frac12\,\int_0^{\pi/2}e^{-x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t}\,\,dt\).
[oraux/ex5374]
Définition, régularité, variations, limites aux bornes.
Existence et unicité d’un point fixe.
Étude des suites réelles vérifiant \(\forall n\in\mathbf{N}\,,\;x_{n+1}=f(x_n)\).
[planches/ex2260] mines PSI 2017 On définit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over x+\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t}\).
[planches/ex2260]
Prouver le caractère \(\mathscr{C}^1\) de \(f\).
Établir l’existence et la valeur de la limite de \(f\) en \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex2128] mines MP 2017 On pose \(I(s)=\displaystyle\int_s^1{dt\over\sqrt{t(t-s)}}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). La fonction \(I\) est elle continue ? de classe \(\mathscr{C}^1\) ? Donner un équivalent de \(I(s)\) quand \(s\) tend vers 1.
[planches/ex2128]
[planches/ex7052] mines PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{dt\over(1-t^x)^{1/x}}\).
[planches/ex7052]
Quelle est la limite de \(f\) en \(+\infty\) ?
[planches/ex0846] mines MP 2016 On note, sous réserve d’existence, pour \(x\in\mathbf{R}\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)+x}\).
[planches/ex0846]
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et déterminer sa limite en \(+\infty\).
Montrer que pour \(x\in\left]1,+\infty\right[\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{2\,du\over1+2ux+u^2}\). Calculer \(f(1)\).
[planches/ex0903] imt MP 2016 Pour \(x>0\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt\).
[planches/ex0903]
Montrer que \(F\) est bien définie et continue.
On pose \(G(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\over t+x}\,dt-{1\over x}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\). Montrer que \(G(x)=O(1/x^2)\) quand \(x\rightarrow+\infty\). En déduire un équivalent de \(F(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Donner un équivalent de \(F\) en \(0^+\).
[examen/ex4351] centrale PC 2025 (avec Python)
[examen/ex4351]
Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}\frac{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)}{x+t}\,\mathrm{d}t\).
Montrer que \(f\) est bien définie.
Montrer que \(f\) a pour limite 0 en \(+\infty\).
Une fonction calculant \(f\) est fournie dans Python. Afficher le graphe de \(f\) sur \([0,1;10]\). Conjecturer la monotonie et la limite de \(f\) en 0. Afficher le graphe sur \([10,100]\) de \(xf(x)\) et de \((x+1)f(x)\). Conjecturer un encadrement de \(f\) au voisinage de \(+\infty\). Tracer \(x\mapsto\displaystyle\frac{f(x)}{\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x}\) et conjecturer un équivalent en 0.
Démontrer la monotonie et la limite en 0 conjecturées à la question précédente.
Montrer l’équivalent en \(+\infty\).
[concours/ex3644] mines M 1992 Trouver un équivalent de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,t^x\,dt\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex3644]
[planches/ex7789] polytechnique MP 2022 On pose \(g:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over\pi(1+x^2)}\). Pour \(y\in\mathbf{R}_+^*\), on pose \(g_y:x\in\mathbf{R}\longmapsto\displaystyle{1\over y}g(x/y)\).
[planches/ex7789]
Soit \(f:\mathbf{R}\longrightarrow\mathbf{C}\) continue, nulle en dehors d’un segment.
Montrer que, pour tout réel \(x\), la fonction \(y\longmapsto\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt\) tend vers \(f(x)\) en \(0^+\).
Montrer plus précisément que, pour tout réel \(\varepsilon>0\), il existe un réel \(\delta>0\) tel que \(\left|\displaystyle\int_\mathbf{R} f(x-t)g_y(t)\,dt-f(x)\right|\leqslant\varepsilon\) pour tout \(x\in\mathbf{R}\) et tout \(y\in\left]0,\delta\right]\).
[planches/ex5108] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)(1+t^x)}\).
[planches/ex5108]
Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(0)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow+\infty}f(x)\).
Soit \(x\in\mathbf{R}_+\). Calculer \(f(x)\).
[concours/ex0682] polytechnique PC 1997 Soit \(\varphi(t)=\displaystyle\int_0^{+\infty} {tx^2\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\over\left(1-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-xt)\right)^2}\,dx\). Étudier \(\varphi\) et trouver un équivalent quand \(t\) tend vers \(+\infty\).
[concours/ex0682]
[oraux/ex2347] centrale MP 2006 On note \(I\) l’ensemble des réels \(x\) tels que l’application \(t\mapsto t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\) est intégrable sur \(\left]0,\pi/2\right]\). On pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^{\pi/2}t^{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\,dt\) pour tout \(x\in I\).
[oraux/ex2347]
Déterminer \(I\).
Montrer que \(f\) est de classe \(C^\infty\).
Étudier les variations de \(f\) : monotonie, limites aux bornes.
Représenter graphiquement \(f\) à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
[planches/ex2818] PC 2017 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \[f_n:x\longmapsto\int_0^{+\infty}{e^{-xt}\over(1+t)^n}\,dt\quad\hbox{et}\quad g_n:x\longmapsto\int_x^{+\infty}{e^{-t}\over t^n}\,dt.\]
[planches/ex2818]
Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) sont définies sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que, pour \(x>0\), \(f_n(x)=x^{n-1}e^xg_n(x)\).
Montrer que, pour \(n\geqslant 2\), \(f_n\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et y est de classe \(\mathscr{C}^\infty\).
Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Donner un équivalent de \(g_n(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).
Montrer que \(g_n(x)\sim e^{-x}/x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
Donner une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par \(f_n\).
[concours/ex3642] mines M 1992 Soit \(I(a)=\displaystyle\int_0^{\pi/2} \left(a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^3t+\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^3t\right)^{-\textstyle{1\over3}}\,dt\). Équivalent quand \(a\) tend vers \(0^+\).
[concours/ex3642]
[planches/ex0879] centrale MP 2016 (avec Python)
[planches/ex0879]
Soit \(\varphi\) la fonction de \(\mathbf{R}\) dans \(\mathbf{R}\) telle que : \[\forall x\in\mathbf{R}_+,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(2\sqrt x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt,\quad\forall x\in\mathbf{R}_-,\ \varphi(x)={2\over\pi}\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\sqrt{-x}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,dt.\]
Représenter \(\varphi\) sur \([-3,5]\) et sur \([-1000,0]\).
Pour \(n\in\mathbf{N}\), donner une expression de \(K_n=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t)^{2n}\,dt\).
Développer \(\varphi\) en série entière au voisinage de 0.
Déterminer la limite de \(\varphi\) en \(+\infty\).
Montrer que \(\varphi\) est positive sur \(\left[-1,+\infty\right[\), croissante sur \(\left[-2,+\infty\right[\), convexe sur \(\left[-3,+\infty\right[\).
[examen/ex0100] mines PSI 2023 Soient \(s\in[0,1]\), et : \[w:(a,x,y,t)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\times\mathbf{R}\mapsto\frac{ay^{2s}}{((x-t)^2+y^2)^{s+1/2}}.\]
[examen/ex0100]
Montrer que \(t\mapsto w(a,x,y,t)\) est intégrable sur \(\mathbf{R}\) pour tout \((a,x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\).
Montrer qu’il existe un unique \(c\in\mathbf{R}\) tel que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t=1\).
Soient \(\varepsilon>0\) et \(U_\varepsilon=\{t\in\mathbf{R},\ |t|>\varepsilon\}\). Montrer que \(\displaystyle\int_{U_\varepsilon}w(a,x,y,t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\rightarrow0^+}}0\).
Soit \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}\) continue et bornée. Montrer que \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} w(c,x,y,t)f(t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\rightarrow0^+}}f(x)\).
[concours/ex4039] polytechnique pox P 1990 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow0}\displaystyle\int_0^x\sqrt{\displaystyle{1+t\over x^2-t^2}}\,dt\).
[concours/ex4039]
[examen/ex4247] imt PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+e^{tx}+e^{-t}}\).
[examen/ex4247]
Donner des équivalents de \(f\) aux bornes de \(D\).
[oraux/ex2316] centrale PSI 2005
[oraux/ex2316]
Montrer que \(\varphi(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-t}-e^{-xt}\over t}\,dt\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\) et que \(\varphi(x)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x\).
Montrer que \(\psi(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({e^{-t}\over t}-{e^{-xt}\over1-e^{-t}}\right)\,dt\) est \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}_+^*\) et en trouver un équivalent pour \(x\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2385] centrale MP 2008
[oraux/ex2385]
Pour quelles valeurs du réel \(x\) l’intégrale \(f(x)=\displaystyle\int_0^x{dt\over t+e^{xt}}\) existe-t-elle ?
Donner la limite de \(f\) en \(+\infty\), puis un équivalent simple.
Quelle est la limite de \(f\) en 0 ?
[planches/ex0825] tpe PSI 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^x\over1+t}\,dt\).
[planches/ex0825]
Trouver le domaine de définition \(D\) de \(f\).
Calculer \(f(x)+f(x+1)\) pour \(x\in D\).
En déduire une expression de \(f\) sous forme d’une série de fonctions.
[planches/ex3948] centrale PSI 2018 Soit \(f:\left]0,1\right]\rightarrow\mathbf{R}\) continue, telle que \(f(t)\sim\lambda t^\alpha\) au voisinage de 0 avec \(\lambda\in\mathbf{R}^*\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\). On pose \(g:x\mapsto\displaystyle\int_0^1{t^xf(t)\over\sqrt{1-t}}\,dt\).
[planches/ex3948]
Déterminer le domaine de définition de \(g\).
Montrer que \(g\) est continue.
Montrer que \(g\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).
Sans utiliser le théorème de convergence dominée, déterminer la limite de \(g\) en \(+\infty\).
[planches/ex0904] navale PSI 2016 Soit \(x>0\). Justifier l’existence de \[f(x)=\int_0^x{e^{-t}\over\sqrt{t(x-t)}}\,dt.\] Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0904]
[oraux/ex5522] mines PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{x^2+t^2}\,dt\).
[oraux/ex5522]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). Étudier la continuité et la dérivabilité de \(f\).
Donner un équivalent de \(f\) aux bornes.
[oraux/ex2272] mines 2004 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{th}}{\hbox{th}}{\mathrm{th}}{\mathrm{th}}}\nolimits(xt)\over t^x(1+t^4)}\,dt\).
[oraux/ex2272]
Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de son intervalle de définition.
[oraux/ex2315] centrale PSI 2005 Soit, pour \(x\in\mathbf{R}\) : \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2xt^2)\over t}\,dt\).
[oraux/ex2315]
Montrer que \(f\) est bien défini.
Continuité et dérivabilité de \(f\).
Étudier le comportement de \(f\) en \(+\infty\).
[planches/ex0845] mines MP 2016 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose, sous réserve d’existence, \[f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt.\]
[planches/ex0845]
Quel est le domaine de définition de \(f\) ?
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[oraux/ex5381] mines MP 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t^2}\,\,dt\). Définition ? Limite en \(+\infty\) ? Dérivabilité ? Équivalent en \(+\infty\) ? Que vaut \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,\,dx\) ?
[oraux/ex5381]
[planches/ex6812] mines MP 2021 Soit \(F:a\in\mathbf{R}_+^*\mapsto\displaystyle\int_{-a}^a{\sqrt{1+x^2}\over\sqrt{a^2-x^2}}\,dx\). Déterminer la limite de \(F\) en \(0^+\).
[planches/ex6812]
[concours/ex0089] polytechnique MP 1996 Montrer que, pour tout \(\theta>0\), il existe \(C_\theta>0\) tel que \[\int_0^{\textstyle{\theta\over\sqrt\alpha}}(1-x^2)^a\,dx \mathrel{\mathop\sim\limits_{a\rightarrow+\infty}} {C_\theta\over\sqrt a}\,.\]
[concours/ex0089]
[planches/ex7631] ens lyon MP 2022
[planches/ex7631]
Soit \(x\in\mathbf{R}_+^*\). Montrer que \(\varepsilon\longmapsto\displaystyle\int_{-x}^{-\varepsilon}{e^{-x-t}\over t}\,dt+\int_\varepsilon^{+\infty}{e^{-x-t}\over t}\,dt\) possède une limite finie en \(0^+\), que l’on notera \(I(x)\).
Déterminer un équivalent de \(I\) en \(0^+\).
[planches/ex0902] imt MP 2016 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-2t}\over x+t}\,dt\).
[planches/ex0902]
Étudier l’existence et la continuité de \(F\) sur \(\mathbf{R}_+^*\).
Déterminer la limite éventuelle de \(xF(x)\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex9040] ccinp PC 2022 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^xe^{2t}\,dt\).
[planches/ex9040]
Trouver les valeurs de \(x\) pour lesquelles \(\displaystyle\int_0^1t^x\,dt\) converge. En déduire le domaine de définition de \(f\).
Pour \(x\in\left]-1,+\infty\right[\), montrer que \(0\leqslant f(x)\leqslant\displaystyle{e^2\over1+x}\). En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{+\infty}f=0\).
Trouver une inégalité montrant que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{-1^+}f=+\infty\).
Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et calculer \(f'(x)\).
Exprimer \(f(x)\) en fonction de \(f(x+1)\).
Trouver deux réels \(\alpha\) et \(\beta\) tels que \(f(x)\mathbin{\mathop=\limits_{x\rightarrow+\infty}}\displaystyle{\alpha\over x}+{\beta\over x^2}+o\left({1\over x^2}\right)\).
Montrer que \(f(x)\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{-1^+}}\displaystyle{1\over1+x}\).
[oraux/ex2406] polytechnique, espci PC 2009 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_x^{+\infty}{e^{-t^2}\over t}\,dt\).
[oraux/ex2406]
Déterminer le domaine de définition de \(f\). La fonction \(f\) est-elle dérivable ?
Montrer que \(e^{x^2}f(x)\) est bornée sur \(\left[1,+\infty\right[\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) en \(0^+\).
L’intégrale \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(x)\,dx\) est-elle convergente ?
[planches/ex9499] polytechnique MP 2023 Soient \(\alpha\), \(\beta>0\). Pour \(x>0\), on pose \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}t^{\beta-1}e^{-t-xt^\alpha}\mathrm{d}t\).
[planches/ex9499]
Déterminer la limite et un équivalent de \(I\) en \(+\infty\).
Donner un développement asymptotique de \(I\) à tout ordre.
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que ce développement soit la somme partielle d’une série convergente pour tout \(x>0\).
[planches/ex0691] mines MP 2013 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t\over1+t^2}e^{-xt}\,dt\).
[planches/ex0691]
Déterminer le domaine de définition réel de \(F\).
Étudier la continuité et les variations de \(F\).
Donner un équivalent de \(f(x)\) quand \(x\rightarrow0^+\) et quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex0689] polytechnique MP 2013 Pour \(\lambda>0\), on définit, sous réserve d’existence, \[I(\lambda)=\int_0^{+\infty}{dx\over(1+x^2)^\lambda}.\] Déterminer la limite puis un équivalent de \(I(\lambda)\) quand \(\lambda\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex0689]
[concours/ex1898] ens MP 1999 Équivalent en \(+\infty\) de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\displaystyle{te\over x}\right)^{\!x}\,dx\) ?
[concours/ex1898]
[examen/ex3802] mines PC 2025 On pose \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,\mathrm{d}t\). Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de \(I(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).
[examen/ex3802]
[oraux/ex5376] mines MP 2012 Équivalent, lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\), de \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^\pi x^t\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\,dt\).
[oraux/ex5376]
[planches/ex9956] mines MP 2023 Soient \(C>0\), \(d>0\) et \(\alpha\in\mathbf{R}\).
[planches/ex9956]
Montrer que \(\displaystyle\int_0^de^{-tx^2}(C+x^2)^\alpha\,\mathrm{d}x\mathrel{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow +\infty}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\frac{C^\alpha}{\sqrt{t}}\).
[planches/ex5294] mines PC 2019 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_+^*)\). On pose \(F:a\in\mathbf{R}_+\longmapsto\displaystyle\int_0^1f(t)^a\,dt\).
[planches/ex5294]
Montrer que \(F\) est dérivable. Calculer \(F'(0)\).
Déterminer la limite de \(a\longmapsto(F(a))^{1/a}\) lorsque \(a\rightarrow0^+\).
[oraux/ex2492] ccp PC 2010 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{1\over1+t^x}\,dt\).
[oraux/ex2492]
Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(F(x)+F(-x)=1\). Calculer \(F(k)\) pour \(k\in\{-2,-1,0,1,2\}\).
Déterminer les limites de \(F\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Donner un équivalent de \(F(x)-1\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
Montrer que \(F\) est convexe sur \(\mathbf{R}_+\) et concave sur \(\mathbf{R}_-\).
[examen/ex4243] imt PSI 2025 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^\pi\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(x\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(t))\,\mathrm{d}t\).
[examen/ex4243]
Montrer que \(F\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathbf{R}\).
En déduire la limite de \(x\mapsto\displaystyle\frac{F(x)}{x}\) lorsque \(x\) tend vers 0.
[concours/ex5212] escp B/L 2007 Pour \(t\in\mathbf{R}^*_+\) et \(x\in\mathbf{R}^*\), on pose : \(g(t,x)=\displaystyle{x\over \sqrt{t}(1+tx^2)}\), et \(u_n(x)=g(n,x)\).
[concours/ex5212]
Étudier la convergence de la série de terme général \(u_n(x)\).
Pour les \(x\) réels pour lesquels cette série converge, on pose : \[S(x)=\sum\limits\limits_{n=1}^{+\infty}u_n(x).\]
On pose maintenant, pour \(x>0\), \[I_1(x)=\int_{1}^{+\infty}g(t,x)\,dt\quad\hbox{et}\quad I_2(x)=\int_{0}^{+\infty}g(t,x)\,dt.\] Montrer que ces deux intégrales sont convergentes puis calculer leur valeur.
Montrer que \(I_1(x)\leqslant S(x)\leqslant I_2(x)\) et en déduire \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits\limits_{x\rightarrow 0}S(x)\).
[planches/ex0848] mines MP 2016 Étudier \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(tx)\over t\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)}\,dt\) : domaine de définition (\(x\in\mathbf{R}\)), caractère \(\mathscr{C}^\infty\), équivalents aux bornes.
[planches/ex0848]
[oraux/ex5521] mines PC 2012 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \({\cal C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).
[oraux/ex5521]
[planches/ex5120] mines PSI 2019 Soit \(f:x\longmapsto\displaystyle\int_0^1e^{t^x\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\).
[planches/ex5120]
Montrer que \(f\) est croissante et continue sur \(\mathbf{R}\).
Donner une expression de \(f(x)\) comme somme de série pour \(x>0\).
Étudier la limite de \(f\) en \(+\infty\).
[examen/ex3011] polytechnique MP 2025 Déterminer un équivalent de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}(te^{-t})^x\,\mathrm{d}t\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).
[examen/ex3011]
[oraux/ex2346] centrale MP 2006 On pose, pour \(n\in\mathbf{N}\), \(I_n=\displaystyle\int_0^1{t^n-t^{n+1}\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\) et \(J_n=\displaystyle\int_0^{+\infty}{e^{-(n+1)s}-e^{-(n+2)s}\over s}\,ds\) ; on pose \(f(x)=\displaystyle\int_0^1{t-1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}e^{-xt}\,dt\).
[oraux/ex2346]
Justifier la définition de \(I_n\).
Calculer \(I_n\) pour \(n=0\), 1, 2, à l’aide d’un logiciel de calcul formel.
Comparer \(I_n\) et \(J_n\).
Étudier la limite quand \(\varepsilon\) tend vers 0 de \(\displaystyle\int_{(n+1)\varepsilon}^{(n+2)\varepsilon}{e^{-s}\over s}\,ds\). En déduire \(I_n\) et \(J_n\).
Montrer que \(f\) est \(C^\infty\).
Étudier les variations de \(f\) et ses limites aux bornes de son intervalle de définition.
Montrer que \(f\) est développable en série entière ; préciser son rayon de convergence.
[concours/ex3066] polytechnique M 1993 Déterminer un équivalent, lorsque \(a\) tend vers \(0^+\), de : \[I_a=\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^4)(t^2+a^2)}.\]
[concours/ex3066]
[planches/ex0693] mines MP 2013 Pour \(x\) dans \(\mathbf{R}^*\), on pose : \[I(x)=\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^2(xt)}\,dt.\]
[planches/ex0693]
Existence de \(I(x)\) ?
Donner la limite puis un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex0741] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Trouver un équivalent, lorsque \(t\rightarrow+\infty\), de : \[I(t)=\int_\mathbf{R}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x^2)e^{-t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x)^2}\,dx.\]
[planches/ex0741]
[concours/ex3292] ens cachan M 1993 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\left({x\over t}\right)^{\!\!\beta}\,dt\) où \((\alpha,\beta)\in\mathbf{C}^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits\alpha>0\). Chercher un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
[concours/ex3292]
[planches/ex1908] polytechnique, espci PC 2017 Soit \[F:a\in\mathbf{R}_+^*\longmapsto\int_{-a}^a{dx\over\sqrt{(1+x^2)(a^2-x^2)}}.\]
[planches/ex1908]
Montrer que \(F\) est bien définie.
Déterminer la limite de \(F\) en \(+\infty\).
Déterminer la limite \(\ell\) de \(F\) en \(0^+\), puis un équivalent de \(F-\ell\).
[oraux/ex2371] mines PC 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)x^t\over(1-x^2)^{1/3}}\,dx\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\), les limites de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\) et quand \(t\rightarrow1^+\). Donner un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2371]
[concours/ex3661] mines M 1992 On pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1\sqrt{x^2+2xt+t^3}\,dt\).
[concours/ex3661]
Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et sur un voisinage de \(-\infty\).
Montrer que \(F\) est dérivable sur \(\mathbf{R}_+^*\). \(F\,'\) a-t-elle une limite en \(0\) ?
Montrer que le graphe de \(F\) admet une asymptote en \(+\infty\), la déterminer.
Montrer que le domaine de définition de \(F\) est \(\left]-\infty,\xi\right]\cup\left[0,+\infty\right[\), le réel \(\xi\) étant à déterminer.
[oraux/ex2277] centrale 2004 Étudier la continuité et la dérivabilité sur \(\mathbf{R}_+\) de \(x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\sqrt{1+xt}\,dt\). Équivalent en \(+\infty\) ?
[oraux/ex2277]
[planches/ex1825] polytechnique PSI 2017 Soit \[g:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R},\quad u\longmapsto\int_0^{+\infty}{1-e^{-ut}\over t(\sqrt t+1)}\,dt.\]
[planches/ex1825]
Vérifier l’existence de \(g\).
Étudier la dérivabilité de \(g\) et ses variations.
Montrer qu’il existe \(c>0\) tel que \(g(u)\sim c\sqrt u\) au voisinage de \(0^+\).
[oraux/ex2298] mines MP 2005 Soit, pour \(x>0\), \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}(1+e^{-t})^xe^{-tx}\,dt\).
[oraux/ex2298]
[planches/ex4527] ens paris MP 2019 Déterminer la limite de \(\displaystyle{1\over A}\int_1^AA^{1/x}\,dx\) lorsque \(A\) tend vers \(+\infty\).
[planches/ex4527]
[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).
[oraux/ex2358]
[oraux/ex5754] centrale PC 2012 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle \int_0^{+\infty}\frac{t\, e^{-t}}{t+x}\,dt.\)
[oraux/ex5754]
Montrer que \(f\) est définie et continue sur \(\mathbf{R}^+\), dérivable sur \(\mathbf{R}^{+*}\).
Montrer que \(f\) n’est pas dérivable à droite en 0.
Calculer \(\displaystyle\int_0^{+\infty} t\, e^{-t}\,dt\).
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(0\leqslant 1-x\, f(x)\leqslant 2/x\). En déduire un équivalent de \(f\) en \(+\infty\).
[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).
[concours/ex3881]
[planches/ex3285] polytechnique MP 2018
[planches/ex3285]
Soient \(a\) et \(b\) dans \(\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{-xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).
Soient \(a\in\left]0,1\right[\) et \(b\in\mathbf{R}_+^*\). Déterminer un équivalent de \(J(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{b-1}e^{xt^a}\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).
[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).
[concours/ex2102]
Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?
\(f\) est-elle continue ?
Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).
[planches/ex0744] polytechnique MP 2014 Donner un équivalent, lorsque \(\lambda\) tend vers \(+\infty\), de : \[\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits\left(-\lambda\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x\right)\,dx.\]
[planches/ex0744]
[examen/ex3606] mines PSI 2025 Soit \(s>0\). Soit \(w:(a,x,y,t)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\times\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\frac{ay^{2s}}{((x-t)^2+y^2)^{s+\frac{1}{2}}}\).
[examen/ex3606]
Pour tout \((a,x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), établir la convergence de \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(a,x,y,t)\,\mathrm{d}t\).
Montrer qu’il existe une unique constante \(c\in\mathbf{R}\) telle que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t=1\).
Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(\varepsilon>0\). On pose \(U_\varepsilon=\{t\in\mathbf{R},\ |t-x|>\varepsilon\}\).
Montrer que \(\displaystyle\int_{U_\varepsilon}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}0\).
Soit \(f\) une fonction continue et bornée sur \(\mathbf{R}\).
Pour tout \(x\in\mathbf{R}\), prouver \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)f(t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}f(x)\).
[planches/ex3286] polytechnique MP 2018 Soit \(f:\mathbf{R}_+\rightarrow\mathbf{R}_+^*\) de classe \(\mathscr{C}^1\) telle que \(xf'(x)-f(x)\rightarrow\alpha\) quand \(x\rightarrow+\infty\).
[planches/ex3286]
Pour \(m>0\), trouver la limite quand \(x\) tend vers \(+\infty\) de \(\displaystyle{f(mx)\over f(x)}\).
Pour tout \(t>0\), montrer que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\) converge.
On suppose dans cette question \(\alpha>-1\). Montrer qu’il existe \(C>0\) telle que \(\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(x)\,dx\mathbin{\mathop{\sim}\limits_{t\rightarrow0^+}}{C\over t}f(1/t)\).
[planches/ex3283] polytechnique MP 2018
[planches/ex3283]
Soient \(A\), \(B\), \(K\in\mathbf{R}_+^*\) et \(f\in\mathscr{C}^0(\mathbf{R}_+,\mathbf{R}_+)\) telle que, pour tout \(t\geqslant 0\), \(f(t)\leqslant Ke^{Bt}\). On suppose qu’il existe \((a_n)_{n\geqslant 0}\in\mathbf{R}^\mathbf{N}\) telle que, pour tout \(t\in[0,A]\), \(f(t)=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kt^k\). Donner un développement asymptotique à tout ordre de \(G:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-tx}f(t)\,dt\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\).
Soit \(a\in\mathbf{R}\). Donner un développement asymptotique à tout ordre, lorsque \(x\rightarrow+\infty\), de \(g:x\mapsto x^ae^x\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-t}t^{a-1}\,dt\).
[planches/ex0723] tpe MP 2013 Soit \(I:a\mapsto\displaystyle\int_0^a\sqrt{a-x\over x}\times{dx\over1-x}\). Déterminer l’ensemble de définition de \(I\). Étudier la limite de \(I(a)\) quand \(a\rightarrow1^-\).
[planches/ex0723]
[oraux/ex4910] ens lyon MP 2012 Soient \(E:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto \displaystyle\int_x ^{+\infty}\frac{e^{-y}}{y}\,dy\) et \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^x \frac{1-e^{-y}}{y} \,dy\).
[oraux/ex4910]
Montrer : \(\forall x\in\mathbf{R}^{+*}\), \(E(x) -F(x)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x +\displaystyle\int_0^{+\infty}e^{-y}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits y \,dy\).
Soit \(s>0\). Montrer qu’il existe un unique réel \(>0\) que l’on notera \(x(s)\) tel que \(E\left(x(s)\right)=-\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits (1-e^{-s})\).
Donner un développement limité à deux termes de \(x(s)\) quand \(s\rightarrow 0^+\).
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