Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0741] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2014 Trouver un équivalent, lorsque \(t\rightarrow+\infty\), de : \[I(t)=\int_\mathbf{R}\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1+x^2)e^{-t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x)^2}\,dx.\]

[planches/ex0693] mines MP 2013 Pour \(x\) dans \(\mathbf{R}^*\), on pose : \[I(x)=\int_0^{+\infty}{1-\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(t)\over\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^2(xt)}\,dt.\]

1. Existence de \(I(x)\) ?

2. Donner la limite puis un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[concours/ex1898] ens MP 1999 Équivalent en \(+\infty\) de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}\left(\displaystyle{te\over x}\right)^{\!x}\,dx\) ?

[concours/ex3292] ens cachan M 1993 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}e^{-\alpha t}\left({x\over t}\right)^{\!\!\beta}\,dt\) où \((\alpha,\beta)\in\mathbf{C}^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits\alpha>0\). Chercher un développement asymptotique de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).

[examen/ex3802] mines PC 2025 On pose \(I:x\mapsto\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^{x\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,\mathrm{d}t\). Donner un équivalent, puis un développement à deux termes de \(I(x)\) lorsque \(x\to+\infty\).

[planches/ex2818] PC 2017 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on pose \[f_n:x\longmapsto\int_0^{+\infty}{e^{-xt}\over(1+t)^n}\,dt\quad\hbox{et}\quad g_n:x\longmapsto\int_x^{+\infty}{e^{-t}\over t^n}\,dt.\]

1. Montrer que \(f_n\) et \(g_n\) sont définies sur \(\mathbf{R}_+^*\).

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Montrer que, pour \(x>0\), \(f_n(x)=x^{n-1}e^xg_n(x)\).

3. Montrer que, pour \(n\geqslant 2\), \(f_n\) est définie sur \(\mathbf{R}_+\) et y est de classe \(\mathscr{C}^\infty\).

4. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Donner un équivalent de \(g_n(x)\) quand \(x\) tend vers \(0^+\).

5. Montrer que \(g_n(x)\sim e^{-x}/x\) quand \(x\) tend vers \(+\infty\).

6. Donner une équation différentielle linéaire d’ordre 1 vérifiée par \(f_n\).

[examen/ex3606] mines PSI 2025 Soit \(s>0\). Soit \(w:(a,x,y,t)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\times\mathbf{R}\mapsto\displaystyle\frac{ay^{2s}}{((x-t)^2+y^2)^{s+\frac{1}{2}}}\).

1. Pour tout \((a,x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), établir la convergence de \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(a,x,y,t)\,\mathrm{d}t\).

2. Montrer qu’il existe une unique constante \(c\in\mathbf{R}\) telle que, pour tout \((x,y)\in\mathbf{R}\times\mathbf{R}^{+*}\), \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t=1\).

3. Soient \(x\in\mathbf{R}\) et \(\varepsilon>0\). On pose \(U_\varepsilon=\{t\in\mathbf{R},\ |t-x|>\varepsilon\}\).

   Montrer que \(\displaystyle\int_{U_\varepsilon}w(c,x,y,t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}0\).

4. Soit \(f\) une fonction continue et bornée sur \(\mathbf{R}\).

   Pour tout \(x\in\mathbf{R}\), prouver \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}w(c,x,y,t)f(t)\,\mathrm{d}t\mathrel{\mathop{\longrightarrow}\limits_{y\to0^+}}f(x)\).