Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex0904] navale PSI 2016 Soit \(x>0\). Justifier l’existence de \[f(x)=\int_0^x{e^{-t}\over\sqrt{t(x-t)}}\,dt.\] Déterminer la limite de \(f\) en \(+\infty\).

[oraux/ex5521] mines PC 2012 Soit \(f:x\in\mathbf{R}^{+*}\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty} \frac{e^{-xt}}{x+t}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie et de classe \({\cal C}^\infty\) sur \(\mathbf{R}^{+*}\). Donner un équivalent de \(f\) en \(0^+\) et en \(+\infty\).

[oraux/ex2492] ccp PC 2010 Pour \(x\in\mathbf{R}\), on pose \(F(x)=\displaystyle\int_0^1{1\over1+t^x}\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est définie sur \(\mathbf{R}\) et que : \(\forall x\in\mathbf{R}\), \(F(x)+F(-x)=1\). Calculer \(F(k)\) pour \(k\in\{-2,-1,0,1,2\}\).

2. Déterminer les limites de \(F\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Donner un équivalent de \(F(x)-1\) quand \(x\rightarrow+\infty\).

3. Montrer que \(F\) est convexe sur \(\mathbf{R}_+\) et concave sur \(\mathbf{R}_-\).

[oraux/ex2358] mines MP 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{dx\over(1+x+x^2)^t}\). Donner la limite puis un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[concours/ex2102] ccp, tpe, int, ivp MP 1999 On pose \(f(\lambda)=\displaystyle\int_0^{+\infty}\left({\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits x\over xe^x}\right)^{\!\lambda}\,dx\).

1. Pour quelles valeurs de \(\lambda\) la fonction \(f\) est-elle continue ?

2. \(f\) est-elle continue ?

3. Trouver la limite à droite de \(f\) au point \(1\).

[planches/ex5294] mines PC 2019 Soit \(f\in\mathscr{C}^0([0,1],\mathbf{R}_+^*)\). On pose \(F:a\in\mathbf{R}_+\longmapsto\displaystyle\int_0^1f(t)^a\,dt\).

1. Montrer que \(F\) est dérivable. Calculer \(F'(0)\).

2. Déterminer la limite de \(a\longmapsto(F(a))^{1/a}\) lorsque \(a\rightarrow0^+\).

[concours/ex3644] mines M 1992 Trouver un équivalent de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t)\,t^x\,dt\) lorsque \(x\) tend vers \(+\infty\).

[oraux/ex2371] mines PC 2008 Soit \(f:t\mapsto\displaystyle\int_0^1{(\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits x)x^t\over(1-x^2)^{1/3}}\,dx\). Déterminer l’ensemble de définition de \(f\), les limites de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\) et quand \(t\rightarrow1^+\). Donner un équivalent de \(f(t)\) quand \(t\rightarrow+\infty\).

[concours/ex3881] ensi M 1992 Étudier \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{y\rightarrow1^-}\displaystyle{1\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits(1-y)}\int_0^y{t^x\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ln}}{\hbox{ln}}{\mathrm{ln}}{\mathrm{ln}}}\nolimits t}\,dt\), avec \(x>0\).

[planches/ex0848] mines MP 2016 Étudier \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits(tx)\over t\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits(t)}\,dt\) : domaine de définition (\(x\in\mathbf{R}\)), caractère \(\mathscr{C}^\infty\), équivalents aux bornes.