Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex7407] ccinp PC 2021

1. Montrer que \(\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{t-1}}\) existe.

2. On définit \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^n\sqrt{t-1}}\).

   1. Pour quels entiers \(n\) cette intégrale est-elle définie ?

   2. Montrer que la suite \((I_n)\) est positive et décroissante.

3. Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité de \(f\).

4. Pour \(u\in\left]-1,1\right[\), montrer que \((1-u)^{-1/2}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(2n)\,!\over4^n(n\,!)^2}u^n\).

5. Pour \(t>1\) et \(x\) assez proche de 0, montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{t(t-x)}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}{x^n\over t^{n+1}}\).

6. En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.

[planches/ex0793] mines PC 2015 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^x{e^t\over t+x}\,dt\). Montrer que \(f\) est définie sur \(\mathbf{R}_+^*\). Étudier la limite de \(f\) en \(0^+\).

[examen/ex2650] ccinp PC 2024 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac1{(1+t^2)^x}\,{\rm d}t\).

1. Préciser le domaine de définition de \(f\).

2. Montrer que, pour \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

3. En déduire que \(\displaystyle f(n)=\frac{(2n-2)!\,\pi}{2^{2n-1}(n-1)!}\).

4. Étudier la monotonie de \(f\).

5. Montrer que \(f\) est continue.

6. Préciser la nature de \(\displaystyle\int_0^{+\infty}f(t)\,{\rm d}t\).

7. Trouver un équivalent de \(f\) en \(+\infty\) et proposer une autre approche pour la question la précédente.

[concours/ex3061] polytechnique M 1993 Soit \(0<\varepsilon<1\). On pose \(I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits x\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx\). Calculer \(I\). Équivalent de \(I\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\) ?

On pose \[J=\int_0^{\pi/2}{dx\over\sqrt{\,\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits^2x+\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits^2x}}\,dx.\] Déterminer les deux premiers termes du développement asymptotique de \(J\) quand \(\varepsilon\) tend vers \(0\).

[concours/ex5737] mines MP 2007 Soit \(F:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{t^x\over1+t^2}\,dt\).

1. Préciser le domaine de définition \(D\) de \(F\) et montrer qu’elle est de classe \(C^\infty\) sur \(D\).

2. Montrer que \(F\) est développable en série entière et préciser son rayon.

[concours/ex5729] mines MP 2007 On pose, pour \(a>0\) : \[I(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}\hbox{ et }J(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}.\]

1. Justifier la définition de \(I(a)\) et \(J(a)\).

2. Donner un équivalent, lorsque \(a\rightarrow0^+\), de \(J(a)\) puis de \(I(a)\).

[concours/ex1177] polytechnique PC 1998 Soit \(\alpha>0\) et \(I(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over\left(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^\alpha t+x\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^\alpha t\right)^{1/\alpha}}\).

Déterminer le domaine de définition de \(I(x)\).

Donner un équivalent de \(I(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0^+\).

[concours/ex2610] tpe, int, ivp M 1995 Soit \(f(x)=\displaystyle\int_0^1t^{tx}\,dt\). Définition, continuité, limite en \(+\infty\).

[concours/ex3211] mines M 1993 Déterminer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{\varepsilon\rightarrow0}\displaystyle\int^\varepsilon_{\varepsilon^2} {du\over\sqrt{(u+1)u(\varepsilon+\varepsilon^2-u)}}\).

[concours/ex1510] centrale PC 1998 On pose \(I(a)=\displaystyle\int_0^1{dt\over t^3+a^3}\).

1. Étudier la limite de \(I(a)\) lorsque \(a\) tend vers \(+\infty\).

2. Trouver un équivalent de \(I(a)\).