Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex4242] saint-cyr PSI 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}\frac{1}{1+t^x}\,\mathrm{d}t\).

1. Déterminer l’ensemble de définition \(\mathscr{D}_f\) de \(f\).

2. Montrer que \(f\) est continue puis de classe \(\mathscr{C}^1\) sur \(\mathscr{D}_f\).

3. Conjecturer à l’aide de Python la valeur de \(f(2)\). Prouver cette conjecture.

4. Étudier la monotonie de la fonction \(f\) sur son domaine.

5. Calculer les limites de \(f\) en \(1^+\) et en \(+\infty\).

[planches/ex8451] mines PC 2022 On pose lorsque cela a un sens \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\). Continuité. Limites aux bornes du domaine de définition.

2. On note \(\lambda\) la limite de \(f\) en \(+\infty\). Déterminer un équivalent de \(\lambda-f(x)\) lorsque \(x\longrightarrow+\infty\).

[examen/ex0285] mines PC 2023 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{t^{x-1}}{1+t^2}\mathrm{d}t\).

1. Déterminer le domaine de définition de \(f\).

2. La fonction \(f\) est-elle continue, de classe \(\mathscr{C}^1\), de classe \(\mathscr{C}^{\infty}\) ?

3. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine de définition.

[concours/ex1838] mines MP 1999 Étudier la fonction \(f(x)=\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over1+t^x}\). Préciser le comportement de \(f\) aux bornes de son domaine de définition.

[examen/ex3896] centrale MP 2025 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}\frac{\mathrm{d}t}{1+t^x}\).

1. Déterminer le domaine de définition \(D\) de \(f\).

2. Énoncer le théorème de convergence dominée ; calculer les limites de \(f\) aux bornes de \(D\).

3. Montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\) et étudier le signe de sa dérivée.

[concours/ex3658] mines M 1992 Étude de \(f(x)=\displaystyle\int_0^\pi\sqrt{x+\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t}\,dt\). Domaine de définition, dérivabilité, montrer que \[\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{x\rightarrow1}f'(x)=+\infty.\]

[planches/ex7407] ccinp PC 2021

1. Montrer que \(\displaystyle\int_0^1{dt\over\sqrt{t-1}}\) existe.

2. On définit \(I_n=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over t^n\sqrt{t-1}}\).

   1. Pour quels entiers \(n\) cette intégrale est-elle définie ?

   2. Montrer que la suite \((I_n)\) est positive et décroissante.

3. Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Déterminer le domaine de définition et étudier la continuité de \(f\).

4. Pour \(u\in\left]-1,1\right[\), montrer que \((1-u)^{-1/2}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(2n)\,!\over4^n(n\,!)^2}u^n\).

5. Pour \(t>1\) et \(x\) assez proche de 0, montrer que \(\displaystyle{1\over\sqrt{t(t-x)}}=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{1\over4^n}{2n\choose n}{x^n\over t^{n+1}}\).

6. En déduire que \(f\) est développable en série entière au voisinage de 0.

[concours/ex3769] centrale M 1992 On pose \(f(x)=\displaystyle\int_1^{+\infty}{dt\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}\). Domaine de définition, monotonie ? Calculer \[I_n=\int_1^{+\infty}{dt\over t^{n+1}\sqrt{t-1}}\] et montrer que \(f\) est développable en série entière.

Indication : on pourra écrire \[{1\over\sqrt{t(t-1)(t-x)}}=\sum\limits_{p=0}^{+\infty}u_p(t)x^p,\] et montrer la décroissance de la suite \((u_p(t))\).

[concours/ex5729] mines MP 2007 On pose, pour \(a>0\) : \[I(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}\hbox{ et }J(a)=\int_0^{+\infty}{dt\over\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^3t+a^3\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^3t)^{1/3}}.\]

1. Justifier la définition de \(I(a)\) et \(J(a)\).

2. Donner un équivalent, lorsque \(a\rightarrow0^+\), de \(J(a)\) puis de \(I(a)\).

[planches/ex7412] ccinp PC 2021 Soit \(f:x\mapsto\displaystyle\int_0^{+\infty}{dt\over(1+t^2)^x}\).

1. Vérifier que \(f\) est bien définie sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

2. 1. Montrer que pour tout \(n\in\mathbf{N}^*\), \(f(n)=2n(f(n)-f(n+1))\).

      Indication : Intégrer par parties.

   2. En déduire, pour \(n\geqslant 1\), une expression de \(f(n)\) à l’aide de factorielles et de puissances de 2.

3. Soient \(x\) et \(y\) dans \(\left]1/2,+\infty\right[\) tels que \(x\leqslant y\). Comparer \(f(x)\) et \(f(y)\).

4. Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]1/2,+\infty\right[\).

5. 1. Que dire de la nature de l’intégrale \(\displaystyle\int_1^{+\infty}f(t)\,dt\) ?

   2. Trouver un équivalent de \(f(x)\) lorsque \(x\rightarrow+\infty\) et retrouver le résultat précédent.