Édition de feuilles d'exercices

[structures/ex0678] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe et : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&x^2\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme si et seulement si \(G\) est abélien.

[structures/ex0530] Soit \(E\) un ensemble, et \(*\) une opération dans \(E\). On définit \(\overline*\) par : \[\forall(x,y)\in E^2\qquad x\mathbin{\overline*}y=y*x.\]

1. Montrer que \((E,{\overline*})\) peut ne pas être isomorphe à \((E,{*})\).

2. Montrer que, si \((E,{*})\) est un groupe, alors \((E,{\overline*})\) est isomorphe à \((E,{*})\).

[oraux/ex6526] ens paris MP 2014 Soit \((T,A)\) un arbre, c’est-à-dire un graphe connexe sans cycle. Deux éléments \(x\) et \(y\) de \(T\) sont dits adjacents lorsque \(\{x,y\}\in A\), et on note alors \(x\sim y\). On note \(\hbox{Aut}(T)\) le groupe des permutations \(\sigma\) de \(T\) telles que \(\forall(x,y)\in T^2\), \(x\sim y\Longleftrightarrow\sigma(x)\sim\sigma(y)\).

Pour \((x,y)\in T^2\), on note \(d(x,y)\) la distance de \(x\) à \(y\) dans l’arbre \(T\), définie comme le plus petit entier \(n\) tels qu’il existe une suite \((x_0,\ldots,x_n)\) telle que \(x_0=x\), \(y=x_n\) et \(x_k\sim x_{k+1}\) pour tout \(k\in[[0,n-1]]\).

Soit \(\varphi:G\rightarrow\hbox{Aut}(T)\) un morphisme de groupes. On fixe un point \(s\in T\). On pose \(f:g\in G\mapsto d(s,\varphi(g)[s])\). Montrer que \(f\) vérifie les deux propriétés suivantes :

1. \(\forall g\in G\), \(f(g^{-1})=f(g)\) ;

2. \(\forall n\in\mathbf{N}^*\), \(\forall(g_1,\ldots,g_n)\in G^n\), \(\forall(z_1,\ldots,z_n)\in\mathbf{C}^n\), \[\sum\limits_{k=1}^nz_k=0\Longrightarrow\sum\limits_{1\leqslant i,j\leqslant n}z_i\overline{z_j}f(g_ig_j^{-1})\in\mathbf{R}_-.\]

Pour la seconde, on pourra introduire l’espace hermitien \(\mathscr{F}(A,\mathbf{C})\) et la fonction \(\psi\) qui à tout élément de \(G\) associe l’indicatrice de l’ensemble des arêtes figurant dans le chemin minimal joignant \(s\) à \(f(g)[s]\).

[concours/ex7081] mines PSI 2005 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe et \(f\) un endomorphisme de \(G\) tel que : \(\forall(x,y)\in G^2\), \(f(x^2y^3)=x^3y^2\). Montrer que \(G\) est commutatif.

[planches/ex4618] polytechnique MP 2019

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) est un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\).

2. Soit \(P\) l’ensemble des \(z\in\mathbf{C}\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(z)>0\). Si \(M=\pmatrix{a&b\cr c&d}\) est dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et si \(z\) est dans \(P\), montrer que \(M.z=\displaystyle{az+b\over cz+d}\) est dans \(P\).

3. Montrer que, si \(M\) et \(M'\) sont dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) et \(z\) dans \(P\), \(M'.(M.z)=M'M.z\).

4. Soient \(S=\pmatrix{0&-1\cr1&0}\) et \(T=\pmatrix{1&1\cr0&1}\), \(G\) le sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{SL}}{\hbox{SL}}{\mathrm{SL}}{\mathrm{SL}}}\nolimits_2(\mathbf{Z})\) engendré par \(S\) et \(T\). Montrer que, si \(z\in P\), il existe \(M\in G\) tel que, si \(z'=M.z\), on ait \(|z'|\geqslant 1\) et \(|\mathop{\mathchoice{\hbox{Re}}{\hbox{Re}}{\mathrm{Re}}{\mathrm{Re}}}\nolimits(z')|\leqslant\displaystyle{1\over2}\).