[examen/ex0202] mines PC 2023 Soit \(g:\mathbf{U}\to\mathbf{U}\) une fonction continue telle que : \(\forall z_1\), \(z_2\in\mathbf{U}\), \(g(z_1z_2)=g(z_1)g(z_2)\). Pour \(t\in\mathbf{R}\), on pose \(f(t)=g(e^{it})\).
[examen/ex0202]
Quelle égalité fonctionnelle vérifie \(f\) ?
En introduisant \(F:t\mapsto\displaystyle\int_0^tf(s)\,\mathrm{d}s\), montrer que \(f\) est de classe \(\mathscr{C}^1\).
Montrer qu’il existe \(\lambda\in\mathbf{R}\) tel que : \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(f(t)=e^{i\lambda t}\).
Montrer qu’il existe \(n\in\mathbf{Z}\) tel que : \(\forall z\in\mathbf{U}\), \(g(z)=z^n\).
Déterminer l’ensemble des fonctions continues \(h:\mathbf{C}^*\to\mathbf{C}^*\) telles que : \[\forall z_1,z_2\in\mathbf{C}^*,\quad h(z_1z_2)=h(z_1)h(z_2).\]
[oraux/ex8927] ens paris MP 2016
[oraux/ex8927]
Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{C}^*,{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).
Déterminer les morphismes continus de \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).
[oraux/ex3526] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2011 Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\times})\). Parmi les morphismes précédents, déterminer ceux qui sont 1-périodiques.
[oraux/ex3526]
[planches/ex9588] polytechnique, espci PC 2023 Soit \(A:\mathbf{R}\to\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) continue telle que \(A(0)=A(1)=I_n\) et \(A(s+t)=A(s)A(t)\) pour tous \(s,t\).
[planches/ex9588]
Donner des exemples non triviaux de telles applications.
Montrer qu’il existe \(P\) inversible et \(\lambda_1\), … , \(\lambda_n\in\mathbf{Z}\) tels que : \[\forall t\in\mathbf{R},\quad A(t)=P\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(e^{2i\pi\lambda_1t},\ldots,e^{2i\pi\lambda_nt})P^{-1}.\]
[planches/ex8132] mines MP 2022 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(u:\mathbf{R}\longrightarrow\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) de classe \(\mathscr{C}^1\). Montrer l’équivalence entre les conditions suivantes :
[planches/ex8132]
\(u\) est un morphisme de groupes de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathop{\mathchoice{\hbox{SO}}{\hbox{SO}}{\mathrm{SO}}{\mathrm{SO}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),{\times})\),
il existe \(A\in\mathscr{A}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\forall t\in\mathbf{R}\), \(u(t)=e^{tA}\).
[concours/ex9206] centrale MP 2006 Quelles sont les fonctions \(f:\mathbf{R}\rightarrow\mathbf{C}\) qui sont continues, de période \(2\pi\) et vérifient \(f(x+y)=f(x)f(y)\) pour tous \(x\) et \(y\) réels ?
[concours/ex9206]
[concours/ex7132] tpe MP 2005 Déterminer les morphismes de groupes dérivables de \((\mathbf{R},{+})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).
[concours/ex7132]
[planches/ex7956] mines MP 2022
[planches/ex7956]
Soit \((m,n)\in{\mathbf{N}^*}^2\). Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) sont isomorphes si et seulement si \(m=n\).
Généraliser en remplaçant \(\mathbf{C}\) par un corps \(\mathbf{K}\).
[planches/ex1965] mines MP 2017 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\in G\), \(g^2=I_n\).
[planches/ex1965]
Montrer que \(G\) est abélien et que son cardinal est une puissance de 2. Quel est le cardinal maximal d’un tel sous-groupe ?
Que peut-on dire de \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) tels que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) soient isomorphes ?
[concours/ex9609] centrale MP 2006
[concours/ex9609]
Soit \(E\) un espace vectoriel complexe de dimension finie et \(\mathscr{U}\) un ensemble d’endomorphismes diagonalisables de \(E\) qui commutent deux à deux. Montrer l’existence d’une base de \(E\) qui diagonalise tout élément de \(\mathscr{U}\).
Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) dont tout élément est de carré \(I_n\). Montrer que \(G\) est commutatif et de cardinal \(\leqslant 2^n\).
Montrer que si \(n\) et \(m\) sont distincts, les groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.
[concours/ex3705] ens cachan M 1992
[concours/ex3705]
Soit \(K\) un corps commutatif de caractéristique différente de \(2\). Soit \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\). Que dire du cardinal de \(G\) ?
Étudier l’existence d’isomorphismes entre les groupes suivants : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(K)\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{Q})\), entre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\).
[planches/ex3441] mines MP 2018
[planches/ex3441]
Montrer que pour toute famille finie de matrices diagonalisables commutant deux à deux, il existe une base de vecteurs propres communs.
Montrer que tout sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) constitué de symétries est abélien. Déterminer le cardinal maximal d’un tel sous-groupe.
Est-ce que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_p(\mathbf{C})\) sont isomorphes lorsque \(n\neq p\) ?
[oraux/ex6889] polytechnique MP 2013 Soit \(\mathbf{K}\) un corps de caractéristique différente de 2.
[oraux/ex6889]
Soient \(n\) un entier naturel non nul et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) tel que \(\forall M\in G\), \(M^2=I_n\). Montrer que \(G\) est abélien, fini et que \(|G|\leqslant 2^n\).
Soit \(m\) et \(n\) deux entiers naturels non nuls. À quelle condition (nécessaire et suffisante) sur \(m\) et \(n\) les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{K})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{K})\) sont-ils isomorphes ?
[concours/ex0834] ens lyon MP 1997 Soient \(L\) et \(K\) deux corps commutatifs de caractéristique différente de \(2\).
[concours/ex0834]
Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) tel que, pour tout \(A\in G\), \(A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits G\leqslant 2^n\).
On suppose qu’il existe un homéomorphisme injectif de groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(L)\). Montrer que \(n\leqslant m\).
[oraux/ex4180] centrale MP 2011 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(g\) dans \(G\), on ait : \(g^2=I_n\).
[oraux/ex4180]
Montrer que \(G\) est abélien.
Montrer qu’il existe \(p\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que toutes les \(pgp^{-1}\), \(g\in G\) soient diagonales.
Montrer que \(G\) est fini, majorer son cardinal par une expression ne dépendant que de \(n\).
Montrer que si \(m\) est dans \(\mathbf{N}^*\) et \(m\neq n\), les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes.
[concours/ex7087] centrale MP 2005
[concours/ex7087]
Soit \(G\) un groupe tel que : \(\forall g\in G\), \(g^2=e\). Montrer que \(G\) est abélien.
Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G\) un sous-groupe de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que : \(\forall A\in G\), \(A^2=I_n\). Montrer qu’il existe \(P\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) tel que, pour tout \(A\) de \(G\), \(P^{-1}AP\) soit diagonale ; en déduire : \(|G|\leqslant 2^n\).
Montrer que les groupes \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C})\) ne sont pas isomorphes si \(n\neq m\).
[concours/ex7783] ens paris MP 2008
[concours/ex7783]
Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{R},{+})\).
Déterminer les morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).
[concours/ex6967] ens paris 2004
[concours/ex6967]
Décrire les sous-groupes de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) isomorphes à \(\left(\vphantom{|_|}\smash{(\mathbf{Z}/2\mathbf{Z})^p,{+}}\right)\) si \((n,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\).
Les groupes \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) et \(\left(\vphantom{|_|}\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_m(\mathbf{C}),{\mathbin{\circ}}\right)\) sont-ils isomorphes ?
[planches/ex6422] polytechnique MP 2021
[planches/ex6422]
Soient \(G\) un groupe, \(\chi_1\), … , \(\chi_m\) des morphismes distincts de \(G\) dans \(\mathbf{C}^*\). Montrer que \((\chi_1,\ldots,\chi_m)\) est une famille libre de \(\mathbf{C}^G\).
Déterminer les morphismes de groupes continus de \(\mathbf{U}\) dans \(\mathbf{C}^*\).
[planches/ex1476] ens paris, ens lyon, ens cachan, ens rennes MP 2017 Déterminer les endomorphismes continus du groupe \((\mathbf{C}^*,{\times})\).
[planches/ex1476]
[planches/ex7960] mines MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) inversibles dont l’inverse est aussi à coefficients entiers.
[planches/ex7960]
Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est un groupe.
Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) d’ordre fini. On suppose qu’il existe \(p\geqslant 3\) premier et \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) tels que \(A=I_n+pM\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A=\{1\}\). Que conclure ?
[planches/ex4404] ens paris MP 2019 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe. Si \(f\) est une fonction de \(G\) dans \(\mathbf{R}\), on dit que \(f\) est un quasi-morphisme s’il existe \(C>0\) tel que \(\forall(x,y)\in G^2\), \(|f(xy)-f(x)-f(y)|\leqslant C\) et que \(f\) est un quasi-caractère si \(\forall(n,x)\in\mathbf{Z}\times G\), \(f(x^n)=nf(x)\). Montrer que, pour tout quasi-morphisme \(M\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\), il existe un unique quasi-morphisme qui est aussi un quasi-caractère \(Q\) de \(G\) dans \(\mathbf{R}\) tel que \(M-Q\) soit bornée.
[planches/ex4404]
[planches/ex6447] polytechnique MP 2021
[planches/ex6447]
Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).
Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).
[planches/ex1432] ens lyon MP 2017 Soient \(p>3\) un nombre premier et \(\varphi:\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\rightarrow\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}/p\mathbf{Z})\) la réduction canonique modulo \(p\). Soit \(G\) un sous groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(\varphi_{|G}\) est injective.
[planches/ex1432]
[planches/ex4625] polytechnique MP 2019 On fixe un entier \(p\geqslant 3\).
[planches/ex4625]
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires de degré \(n\).
On suppose que \(P(X)=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\), que \(Q\) est à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et que les racines de \(P\) sont toutes de module 1. Montrer que \(P=(X-1)^n\).
Montrer que l’ensemble \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\}\) forme un groupe pour la multiplication.
Soient \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\), et \((A,B)\in G^2\) tel que \(A=B+pM\) pour une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(A=B\).
[concours/ex7334] polytechnique, espci PC 2010
[concours/ex7334]
Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Q},{+})\) sont-ils isomorphes ?
Les groupes \((\mathbf{R},{+})\) et \((\mathbf{R}^*,{\times})\) sont-ils isomorphes ?
[concours/ex7257] polytechnique, espci PC 2009
[concours/ex7257]
Un groupe peut-il être isomorphe à l’un de ses sous-groupes stricts ?
Un espace vectoriel peut-il être isomorphe à l’un de ses sous-espaces vectoriels stricts ?
[structures/ex0533] Le groupe \((\mathbf{R},{+})\) est-il isomorphe à \((\mathbf{R}^*,{\times})\) ?
[structures/ex0533]
[ensembles/ex0056] Montrer que \((\mathbf{C}^*,{\times})\) n’est pas isomorphe à \((\mathbf{R}^*,{\times})\), ni à \((\mathbf{C},{+})\), ni à \((\mathbf{R},{+})\).
[ensembles/ex0056]
[concours/ex7255] polytechnique, espci PC 2009
[concours/ex7255]
Montrer que \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^3,{+})\) ne sont pas isomorphes.
Soit \(U=\{z\in\mathbf{C},\ |z|=1\}\). Montrer que les groupes \((U,{\times})\) et \((\mathbf{R},{+})\) ne sont pas isomorphes.
Montrer que les groupes \((\mathbf{Q},{+})\) et \((\mathbf{R},{+})\) ne sont pas isomorphes.
[concours/ex6962] ens paris, ens lyon, ens cachan 2004 Parmi les groupes additifs \(\mathbf{Z}\), \(\mathbf{Z}^2\), \(\mathbf{Q}\), \(\mathbf{R}\), en est-il d’isomorphes ?
[concours/ex6962]
[concours/ex7234] ens paris MP 2009 Parmi les groupes suivants, lesquels sont isomorphes : \((\mathbf{Z},{+})\), \((\mathbf{Z}^2,{+})\), \((\mathbf{Q},{+})\), \((\mathbf{Q}_+^*,{\times})\) ?
[concours/ex7234]
[structures/ex0267] On définit sur \(\mathbf{R}\) la loi \(\nabla\) par : \(x\nabla y=\sqrt[3]{x^3+y^3}\). Montrer que \((\mathbf{R},{\nabla})\) est un groupe isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).
[structures/ex0267]
[structures/ex0398] Soient \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\), et \(*\) la loi de composition interne définie dans \(\mathbf{R}\) par \(x*y=\sqrt[n]{x^n+y^n}\). En utilisant l’application \(x\mapsto\sqrt[n]x\), montrer que \((\mathbf{R},{*})\) est un groupe, isomorphe à \((\mathbf{R},{+})\).
[structures/ex0398]
[concours/ex6961] ens paris 2004
[concours/ex6961]
Soit \(G\) un sous-groupe de \((\mathbf{Z}^n,{+})\) avec \(n\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(m\in\{0,\ldots,n\}\) tel que \(G\) soit isomorphe à \((\mathbf{Z}^m,{+})\).
A quelle condition \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^p,{+})\) sont-ils isomorphes ?
[oraux/ex6497] ens paris MP 2013 Pour \(p\) premier, on note \(\mathscr{Z}_p=\left\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists k\in\mathbf{N}^*,\ z^{p^k}=1\right\}\).
[oraux/ex6497]
Montrer que \((\mathscr{Z}_p,{\times})\) est un groupe.
Déterminer les sous-groupes de \(\mathscr{Z}_p\). Parmi les sous-groupes non triviaux de \(\mathscr{Z}_p\), y en a-t-il un maximal ?
Soit \(\varphi:\mathscr{Z}_p\rightarrow G\) un morphisme surjectif, où \(G\) est un groupe arbitraire. Montrer que \(G\) est trivial ou isomorphe à \(\mathscr{Z}_p\).
Montrer que la réunion, pour \(p\) premier, des \(\mathscr{Z}_p\) engendre le groupe \(\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists n\in\mathbf{N}^*,\ z^n=1\}\).
[concours/ex6208] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006
[concours/ex6208]
Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^2,{+})\) sont-ils isomorphes ?
Pour quels \((m,n)\in\mathbf{N}^*\) les groupes \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^m,{+})\) sont-ils isomorphes ?
[structures/ex0669] Montrer que \(*\) est une loi interne sur \(\mathbf{R}\) et donner ses propriétés : \[a*b=\sqrt[3]{a^3+b^3}.\]
[structures/ex0669]
[concours/ex2559] tpe, int, ivp M 1995 Soit \(G\) un groupe multiplicatif. Montrer que \(x\mapsto x^{-1}\) est un automorphisme de \(G\) si et seulement si \(G\) est abélien.
[concours/ex2559]
[structures/ex0642] Soit \(G\) un groupe non commutatif. Pour \(a\in G\), on note : \[\begin{array}{rcl} f_a:G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\,x\,a^{-1}.\end{array}\] On pose \(G'=\{f_a\mid a\in G\}\).
[structures/ex0642]
Montrer que \(G'\) est un groupe pour la loi \(\mathbin{\circ}\).
Montrer que \(a\mapsto f_a\) est un morphisme de \(G\) sur \(G'\).
[complexes/ex0279] Caractères d’un groupe
[complexes/ex0279]
Pour chaque groupe \(G\), on munit l’ensemble \(\widehat G=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(G,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \(G\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat G\) et \(g\in\widehat G\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in G\)). Le groupe \(\widehat G\) est appelé groupe des caractères de \(G\).
Si \(G\) est cyclique, démontrer que \(\widehat G\) est cyclique et de même cardinal.
On suppose \(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_p\) où \(G_k\) est cyclique, de cardinal \(n_k\). Démontrer que \(\widehat G\) est isomorphe à \(\widehat G_1\times\widehat G_2\times\cdots\times\widehat G_p\) et en déduire que \(G\) est isomorphe à \(\widehat G\).
Trouver \(\widehat G\) lorsque \(G\) est l’un des groupes suivants :
le groupe du carré ;
le groupe quaternionique ;
le groupe \(\mathfrak{U}_4\) ;
le groupe diédral \(D_n\).
[structures/ex0536] Un sous-groupe strict d’un groupe peut-il être isomorphe au groupe entier ?
[structures/ex0536]
[structures/ex0676] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe. On considère l’application : \[f_a\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\cdot x\cdot a^{-1}\end{array}\right.\qquad\hbox{($a\in G$, fixé).}\]
[structures/ex0676]
Montrer que \(f_a\) est un automorphisme de \(G\).
On note : \(I=\{f_a\mid a\in G\}\).
Montrer que \((I,{\mathbin{\circ}})\) est un groupe où \(\mathbin{\circ}\) est la loi de composition des applications de \(G\) dans \(G\).
Soit : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&I\\a&\longmapsto&f_a.\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme de \((G,\,{\cdot}\,)\) dans \((I,{\mathbin{\circ}})\).
[structures/ex0046] Montrer que l’application \(x\mapsto x^{-1}\) est un endomorphisme du groupe \(G\) si et seulement si ce dernier est abélien, et que dans ce cas les applications \(x\mapsto x^k\), où \(k\in\mathbf{Z}\), sont toutes des endomorphismes.
[structures/ex0046]
[planches/ex3155] polytechnique MP 2018 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe commutatif fini de cardinal \(N\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).
[planches/ex3155]
Montrer que \(\widehat G\) est fini et que \((\widehat G,{\times})\) est un groupe, où \(\times\) désigne la multiplication entre fonctions de \(G\) dans \(\mathbf{C}\). On note \(N'\) le cardinal de \(\widehat G\).
Soit \(\varphi:(u,v)\in\mathbf{C}^N\times\mathbf{C}^N\mapsto\displaystyle\sum\limits_{j=1}^N\overline{u_j}v_j\). Montrer que si \((u^1,u^2,\ldots,u^p)\in(\mathbf{C}^N)^p\) vérifie : \(k\neq\ell\Longleftrightarrow\varphi(u^k,u^\ell)=0\) alors \((u^1,\ldots,u^p)\) est libre.
Construire une surjection de \(G\) dans \(\widehat{\widehat G}\) et en déduire que \(N=N'\).
[planches/ex1466] ens paris MP 2017 Trouver tous les groupes dont le groupe des automorphismes est trivial.
[planches/ex1466]
[concours/ex5849] centrale MP 2007 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe. Si \(g\in G\), soit \(\varphi_g\) l’application de \(G\) dans \(G\) telle que : \(\forall x\in G\), \(\varphi_g(x)=gxg^{-1}\).
[concours/ex5849]
Montrer, si \(g\in G\), que \(\varphi_g\) est un automorphisme de \(G\).
Montrer que l’application \(\Phi\) qui à \(g\in G\) associe \(\varphi_g\) est un morphisme de \(G\) dans le groupe \(\hbox{Aut}(G)\) des automorphismes de \(G\). Quel est son noyau ?
Donner un exemple où \(\Phi\) n’est pas surjectif.
Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(G=\mathfrak{S}_n\). On note \(\mathscr{A}_n\) le sous-groupe de \(G\) constitué des permutations paires. Montrer que \(\mathscr{A}_n\) est stable par les \(\varphi_g\).
On revient au cas général. On pose \(\mathscr{G}=\hbox{Aut}(G)\) et \(\mathscr{H}=\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits\Phi\). Si \(\delta\in\mathscr{G}\), \(\mathscr{H}\) est-il stable par \(\varphi_\delta\) ?
[oraux/ex4145] centrale MP 2011 Soit \(G\) un groupe abélien fini. On appelle caractère de \(G\) tout morphisme de groupe \(\chi:G\rightarrow\mathbf{C}^*\). On note \(E\) le \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel des applications de \(G\) dans \(\mathbf{C}\).
[oraux/ex4145]
Soit \(\chi\) un caractère de \(G\). Montrer : \(\forall g\in G\), \(|\chi(g)|=1\).
Si \((f,h)\in E^2\), on pose \(\langle f,h\rangle=\displaystyle{1\over|G|}\sum\limits_{g\in G}\overline{f(g)}h(g)\). Vérifier qu’il s’agit d’un produit scalaire.
Montrer que, pour tous caractères \(\chi\) et \(\theta\) de \(G\) et tout \(g\in G\), on a \(\langle\chi,\theta\rangle=\overline{\chi(g)}\theta(g)\langle\chi, \theta\rangle\).
Montrer que la famille des caractères de \(G\) est orthonormale.
Soit \(\widehat G\) l’ensemble des caractères de \(G\). On admet \(|G|=|\widehat G|\). Montrer que les caractères de \(G\) forment une base de \(E\).
[planches/ex4617] polytechnique MP 2019 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe abélien fini de cardinal \(n\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).
[planches/ex4617]
Montrer que \(\widehat G\) est un groupe pour la multiplication ordinaire des fonctions.
Montrer que, si \(\chi\in\widehat G\) n’est pas le morphisme trivial, \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\chi(g)=0\).
Si \(\chi\) et \(\chi'\) sont deux éléments distincts de \(\widehat G\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\overline{\chi(g)}\chi'(g)=0\).
Montrer que \(|\widehat G|\leqslant n\).
Si \(x\in G\), soit \(\delta_x\) l’élément de \(\widehat{\widehat G}\) défini par \(\forall\chi\in\widehat G\), \(\delta_x(\chi)=\chi(x)\). Montrer que \(x\longmapsto\delta x\) est un isomorphisme de \(G\) sur \(\widehat{\widehat G}\).
Quel est le cardinal de \(\widehat G\) ?
[concours/ex7703] mines MP 2006 Déterminer l’ensemble des morphismes continus de \((\mathbf{U},{\times})\) dans lui-même.
[concours/ex7703]
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