Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3155] polytechnique MP 2018 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe commutatif fini de cardinal \(N\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Montrer que \(\widehat G\) est fini et que \((\widehat G,{\times})\) est un groupe, où \(\times\) désigne la multiplication entre fonctions de \(G\) dans \(\mathbf{C}\). On note \(N'\) le cardinal de \(\widehat G\).

2. Soit \(\varphi:(u,v)\in\mathbf{C}^N\times\mathbf{C}^N\mapsto\displaystyle\sum\limits_{j=1}^N\overline{u_j}v_j\). Montrer que si \((u^1,u^2,\ldots,u^p)\in(\mathbf{C}^N)^p\) vérifie : \(k\neq\ell\Longleftrightarrow\varphi(u^k,u^\ell)=0\) alors \((u^1,\ldots,u^p)\) est libre.

3. Construire une surjection de \(G\) dans \(\widehat{\widehat G}\) et en déduire que \(N=N'\).

[oraux/ex6524] ens paris MP 2014 Que dire d’un groupe \(G\) dont le groupe des automorphismes est trivial ?

[complexes/ex0279] Caractères d’un groupe

Pour chaque groupe \(G\), on munit l’ensemble \(\widehat G=\mathop{\mathscr{L}}\nolimits(G,\mathbf{U})\) des homomorphismes de groupe de \(G\) dans \(\mathbf{U}\) de sa structure naturelle de groupe (si \(f\in\widehat G\) et \(g\in\widehat G\), alors \((fg)(x)=f(x)g(x)\) pour tout \(x\in G\)). Le groupe \(\widehat G\) est appelé groupe des caractères de \(G\).

1. Si \(G\) est cyclique, démontrer que \(\widehat G\) est cyclique et de même cardinal.

2. On suppose \(G=G_1\times G_2\times\cdots\times G_p\) où \(G_k\) est cyclique, de cardinal \(n_k\). Démontrer que \(\widehat G\) est isomorphe à \(\widehat G_1\times\widehat G_2\times\cdots\times\widehat G_p\) et en déduire que \(G\) est isomorphe à \(\widehat G\).

3. Trouver \(\widehat G\) lorsque \(G\) est l’un des groupes suivants :

   1. le groupe du carré ;

   2. le groupe quaternionique ;

   3. le groupe \(\mathfrak{U}_4\) ;

   4. le groupe diédral \(D_n\).

[concours/ex7282] centrale PC 2009 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe. Montrer que \(G\) est commutatif si et seulement si \(\varphi:g\in G\mapsto g^{-1}\) est un morphisme de groupes.

[structures/ex0355] Soit \((G,{\cdot})\) un groupe ; pour tout \(a\in G\), on note \(\tau_a:G\rightarrow G\) l’application définie par : \[\tau_a(x)=axa^{-1}.\]

1. Vérifier que \(\tau_a\) est un automorphisme de \(G\) (appelé automorphisme intérieur associé à \(a\)).

2. Vérifier : \(\forall(a,b)\in G^2\quad\tau_a\mathbin{\circ}\tau_b=\tau_{ab}\).