Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6497] ens paris MP 2013 Pour \(p\) premier, on note \(\mathscr{Z}_p=\left\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists k\in\mathbf{N}^*,\ z^{p^k}=1\right\}\).

1. Montrer que \((\mathscr{Z}_p,{\times})\) est un groupe.

2. Déterminer les sous-groupes de \(\mathscr{Z}_p\). Parmi les sous-groupes non triviaux de \(\mathscr{Z}_p\), y en a-t-il un maximal ?

3. Soit \(\varphi:\mathscr{Z}_p\rightarrow G\) un morphisme surjectif, où \(G\) est un groupe arbitraire. Montrer que \(G\) est trivial ou isomorphe à \(\mathscr{Z}_p\).

4. Montrer que la réunion, pour \(p\) premier, des \(\mathscr{Z}_p\) engendre le groupe \(\{z\in\mathbf{C}\ ;\ \exists n\in\mathbf{N}^*,\ z^n=1\}\).

[structures/ex0669] Montrer que \(*\) est une loi interne sur \(\mathbf{R}\) et donner ses propriétés : \[a*b=\sqrt[3]{a^3+b^3}.\]

[concours/ex6208] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2006

1. Les groupes \((\mathbf{Z},{+})\) et \((\mathbf{Z}^2,{+})\) sont-ils isomorphes ?

2. Pour quels \((m,n)\in\mathbf{N}^*\) les groupes \((\mathbf{Z}^n,{+})\) et \((\mathbf{Z}^m,{+})\) sont-ils isomorphes ?

[planches/ex4617] polytechnique MP 2019 Soit \((G,{\cdot})\) un groupe abélien fini de cardinal \(n\). On note \(\widehat G\) l’ensemble des morphismes de groupes de \((G,{\cdot})\) dans \((\mathbf{C}^*,{\times})\).

1. Montrer que \(\widehat G\) est un groupe pour la multiplication ordinaire des fonctions.

2. Montrer que, si \(\chi\in\widehat G\) n’est pas le morphisme trivial, \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\chi(g)=0\).

3. Si \(\chi\) et \(\chi'\) sont deux éléments distincts de \(\widehat G\), montrer que \(\displaystyle\sum\limits_{g\in G}\overline{\chi(g)}\chi'(g)=0\).

4. Montrer que \(|\widehat G|\leqslant n\).

5. Si \(x\in G\), soit \(\delta_x\) l’élément de \(\widehat{\widehat G}\) défini par \(\forall\chi\in\widehat G\), \(\delta_x(\chi)=\chi(x)\). Montrer que \(x\longmapsto\delta x\) est un isomorphisme de \(G\) sur \(\widehat{\widehat G}\).

6. Quel est le cardinal de \(\widehat G\) ?

[structures/ex0676] Soit \((G,\,{\cdot}\,)\) un groupe. On considère l’application : \[f_a\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&G\\x&\longmapsto&a\cdot x\cdot a^{-1}\end{array}\right.\qquad\hbox{($a\in G$, fixé).}\]

1. Montrer que \(f_a\) est un automorphisme de \(G\).

2. On note : \(I=\{f_a\mid a\in G\}\).

   Montrer que \((I,{\mathbin{\circ}})\) est un groupe où \(\mathbin{\circ}\) est la loi de composition des applications de \(G\) dans \(G\).

3. Soit : \[f\ :\ \left\{\begin{array}{rcl} G&\longrightarrow&I\\a&\longmapsto&f_a.\end{array}\right.\] Montrer que \(f\) est un morphisme de \((G,\,{\cdot}\,)\) dans \((I,{\mathbin{\circ}})\).